Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
517 kez görüntülendi

Elimde $E: a(x_0 x_1 x_2) + b(x_0^3 + x_1^3 + x_2^3) = 0$ egrisi var. Gostermem gereken $E$'nin her noktada gicir (purussuz, smooth) olmasi icin gerek ve yeter kosulun $b\neq 0$ ve $a^3 + 27b^3 \neq0$ oldugu.

Gicir olmanin tanimi soyle yapiliyor: Bir $P$ noktasina gicir diyorum, eger $\frac{\partial}{\partial x_0} E(P), \frac{\partial}{\partial x_1}E(P), \frac{\partial}{\partial x_2}E(P) $ kismi turevlerinden en az biri sifirdan farkli ise.

Kismi turevleri aldim: 

$$E_{x_0} = ax_1 x_2 + 3b x_0^2 \\ E_{x_1} = ax_0 x_2 + 3b x_1^2 \\E_{ x_2} = ax_0 x_1 + 3b x_2^2$$

Bunlari ayni anda sifira esitledigimde $b = 0$ ya da $a^3 + 27b^3 = 0$ bulmam lazim. Bir turlu cozemedim denklemi. 

Not: $(a, b) \in \mathbb{P}^1$, yani ikisi ayni anda sifir olamazlar. Eger ise yarayacaksa, $P = (x_0, x_1, x_2)$ noktasi da $\mathbb{P}^2$ 'de. $(x_0, x_1, x_2) = (0 ,0 ,0)$ noktasi gecerli bir nokta degil yani.

Lisans Matematik kategorisinde (2.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 517 kez görüntülendi

Soruyu da düzenleyebilirsin.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

1) Herhangi ikisi sifir ise $x_0=x_1=0$ diyelim. Bu durumda $3bx_2^2=0$ olmali. Yani $b=0$ isi bozar.

2) Hic biri sifir degilse denklemleri $-ax_1x_2=3bx_0^2$ seklinde yazip taraf tarafa carparsak $-a^3(x_0x_1x_2)^2=27b^2(x_0x_1x_2)^2$'den $a^3+27b^3=0$  isi bozar.

3) Eger sadece biri sifir ise, $x_0=0$ diyelim. Ilk denklem $ax_1x_2=0$  yani $a=0$ olmali ve diger denklemlerden $b=0$ olmali. Bu durumda $b=0$ isi bozar yine.  Fakat $a\ne 0$ ve $b=0$ durumunda ilk turev yine sifir olmaz. bu durumda da $a^3+27b^3 \ne 0$ olur.

(25.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Galiba anladim.

Tek bir tarafi cevaplamissin. Ben de soruyu yanlis sormusum, veya degil ve olmali. 

Sen sunu cevapladin: Eger egri gicir degilse, gicir olmayan bir noktasi var. Bu nokta $(1, 0, 0)$ cinsindense senin ilk soyledigin seyden dolayi $b = 0$. Eger bu nokta $(x, y, z)$ (hicbiri sifir degil) ise ikinci soyledigin sey. Ucuncu sey ise zaten mumkun degil cunku $a$ ve $b$'nin ayni anda sifir olmasina imkan vermiyorum.

Diger tarafi kanitlayalim: Eger $b =0$ ise $(1,0,0)$ gicir olmayan bir nokta verir. Eger $a^3 + 27b^3 =0$ ise (ki burasi benim asil zorlandigim yerdi, simdi buldum), $\omega^3 = 1$ olmak uzere $a = -3\omega b$ olmali. Simdi iki durum var: Eger $\omega = 1$ ise $(1,1,1)$ noktasi gicir bir nokta degil. Eger $\omega \neq 1$ ise $(1, \omega^2, 1)$ noktasi gicir degil.

Evet, ve'lisi kanıtlanmış oluyor. Tam bi cevap değil, yorumlaşmayı beklemiştim ama sen gelip yorumlardan her şeyi bitirmişsin.

Abi eyvallah, cok sinirimi bozmustu.

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,045,113 kullanıcı