Gicir (Purussuz) Egri

Question

Elimde $E: a(x_0 x_1 x_2) + b(x_0^3 + x_1^3 + x_2^3) = 0$ egrisi var. Gostermem gereken $E$'nin her noktada gicir (purussuz, smooth) olmasi icin gerek ve yeter kosulun $b\neq 0$ ve $a^3 + 27b^3 \neq0$ oldugu.

Gicir olmanin tanimi soyle yapiliyor: Bir $P$ noktasina gicir diyorum, eger $\frac{\partial}{\partial x_0} E(P), \frac{\partial}{\partial x_1}E(P), \frac{\partial}{\partial x_2}E(P)$ kismi turevlerinden en az biri sifirdan farkli ise.

Kismi turevleri aldim: 

$$E_{x_0} = ax_1 x_2 + 3b x_0^2 \\ E_{x_1} = ax_0 x_2 + 3b x_1^2 \\E_{ x_2} = ax_0 x_1 + 3b x_2^2$$

Bunlari ayni anda sifira esitledigimde $b = 0$ ya da $a^3 + 27b^3 = 0$ bulmam lazim. Bir turlu cozemedim denklemi. 

Not: $(a, b) \in \mathbb{P}^1$, yani ikisi ayni anda sifir olamazlar. Eger ise yarayacaksa, $P = (x_0, x_1, x_2)$ noktasi da $\mathbb{P}^2$ 'de. $(x_0, x_1, x_2) = (0 ,0 ,0)$ noktasi gecerli bir nokta degil yani.

Comments

Soruyu da düzenleyebilirsin.

Answer 1

1) Herhangi ikisi sifir ise $x_0=x_1=0$ diyelim. Bu durumda $3bx_2^2=0$ olmali. Yani $b=0$ isi bozar.

2) Hic biri sifir degilse denklemleri $-ax_1x_2=3bx_0^2$ seklinde yazip taraf tarafa carparsak $-a^3(x_0x_1x_2)^2=27b^2(x_0x_1x_2)^2$'den $a^3+27b^3=0$  isi bozar.

3) Eger sadece biri sifir ise, $x_0=0$ diyelim. Ilk denklem $ax_1x_2=0$  yani $a=0$ olmali ve diger denklemlerden $b=0$ olmali. Bu durumda $b=0$ isi bozar yine.  Fakat $a\ne 0$ ve $b=0$ durumunda ilk turev yine sifir olmaz. bu durumda da $a^3+27b^3 \ne 0$ olur.

Comments

Galiba anladim.

---

Tek bir tarafi cevaplamissin. Ben de soruyu yanlis sormusum, veya degil ve olmali. 

Sen sunu cevapladin: Eger egri gicir degilse, gicir olmayan bir noktasi var. Bu nokta $(1, 0, 0)$ cinsindense senin ilk soyledigin seyden dolayi $b = 0$. Eger bu nokta $(x, y, z)$ (hicbiri sifir degil) ise ikinci soyledigin sey. Ucuncu sey ise zaten mumkun degil cunku $a$ ve $b$'nin ayni anda sifir olmasina imkan vermiyorum.

Diger tarafi kanitlayalim: Eger $b =0$ ise $(1,0,0)$ gicir olmayan bir nokta verir. Eger $a^3 + 27b^3 =0$ ise (ki burasi benim asil zorlandigim yerdi, simdi buldum), $\omega^3 = 1$ olmak uzere $a = -3\omega b$ olmali. Simdi iki durum var: Eger $\omega = 1$ ise $(1,1,1)$ noktasi gicir bir nokta degil. Eger $\omega \neq 1$ ise $(1, \omega^2, 1)$ noktasi gicir degil.

---

Evet, ve'lisi kanıtlanmış oluyor. Tam bi cevap değil, yorumlaşmayı beklemiştim ama sen gelip yorumlardan her şeyi bitirmişsin.

---

Abi eyvallah, cok sinirimi bozmustu.