a,b,c birden farklı reel sayılar olmak üzere $a+b+c=1$ ise $\frac{1}{1-a^2}+\frac{1}{1-b^2}+\frac{1}{1-c^2} \geq \frac{27}{8} $ olduğunu kanıtlayınız

Question

http://matkafasi.com/4680/birden-farkli-reel-sayilar-olmak-uzere-ise-frac-frac-frac-frac 

sorusu ile ilgili

Answer 1

 Ben de ilk gördüğümde bu soruyu referans verecektim, her terime +1 ekleyip, yani toplamda 3, sonra iki tarafı 2'ye bölünce cevap geliyor.

Comments

güzel çözüm olmuş, ben diğer eşitsizliği kanıtlarken bunu kullanmıştım diğeri bilinince bunu kanıtlamak daha kolaymış teşekkürler

---

Ben de diğeri için bunu kanıtlamıştım :)

---

diğerler:) karışmaya başladı kolay gelsin

---

Aynı diğeri :)  

Answer 2

$f(x)=\frac{1}{1-x}$  olsun $f''(x)\>0$ konveks jensen kullanabiliriz $$f(a)+f(b)+f(c) \geq 3 f(\frac{a+b+c}{3})$$ buda $$\frac{1}{1-a^2}+\frac{1}{1-b^2}+\frac{1}{1-c^2}\geq 3 \frac{1}{1-\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}=3.\frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{27}{8}$$

not: $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$