a,b,c birden farklı reel sayılar olmak üzere $a+b+c=1$ ise $$\frac{1+a^2}{1-a^2}+\frac{1+b^2}{1-b^2}+\frac{1+c^2}{1-c^2}\geq \frac{15}{4}$$

Question

olduğunu gösteriniz

Comments

Hocam burada bizden ne isteniyor?

---

Soru cümlesini unutmuşum :) eşitsizliğin kanıtlayın

Answer 1

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden dolayı
\[
1=\left( 1\cdot a+1\cdot b+1\cdot c\right) ^{2}\leq \left(
1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)
\]
oldu\u{g}undan
\[
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}
\]
Harmonik ortalama aritmetik ortalamadan küçüktür. 
\[
\frac{3}{\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{1-b^{2}}+\frac{1}{1-c^{2}}}=\left( \frac{
\left( 1-a^{2}\right) ^{-1}+\left( 1-b^{2}\right) ^{-1}+\left(1-c^{2}\right) ^{-1}}{3}\right) ^{-1} \]

\[ \leq \frac{\left( 1-a^{2}\right)+\left( 1-b^{2}\right) +\left( 1-c^{2}\right) }{3}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\]
O halde
\[
\frac{27}{8}\leq \frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{1-b^{2}}+\frac{1}{1-c^{2}}\]

\[\Longrightarrow \frac{2}{1-a^{2}}-1+\frac{2}{1-b^{2}}-1+\frac{2}{1-c^{2}}-1\geq \frac{27}{4}-3=\frac{15}{4}\]
\[
\frac{a^{2}+1}{1-a^{2}}+\frac{b^{2}+1}{1-b^{2}}+\frac{c^{2}+1}{1-c^{2}}\geq \frac{15}{4}
\]

Comments

teşekkürler güzel çözüm için Sn hocam,

Answer 2

Jensen gibi ``ağır top " kullanmak yerine, daha elemanter çözümler verilebilir. Önce, ufak bir hatayı giderelim: $a,b$ ve $c$ nin mutlak değerleri $1$'den küçük olmalıdır. Aksi halde, sol taraf negatif olabilir.

I.YOL:

 "Aritmetik ortalama" $\geq $ "Harmonik ortalama " eşitsizliginden
$
\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{1-b^{2}}+\frac{1}{1-c^{2}}\geq \frac{9}{
3-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
$

Burada $(a+b+c)^{2}\leq 3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ basit eşitsizliği kullanılırsa, istenen çıkar.

II. YOL

Cauchy eşitsizliğine denk olan
\[
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}}+\cdots +\frac{x_{n}^{2}}{a_{n}}\geq \frac{
(x_{1}+\cdots +x_{n})^{2}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}
\]
eşitsizliği kullanılırsa
\[
\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{1-b^{2}}+\frac{1}{1-c^{2}}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{
3-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
\]
olur ve devamı, I. yoldaki gibi sürdürülür.

Comments

Çözümü girdikten sonra, benim vermiş olduğum I. çözümün aynısını Yusuf ÜNLÜ Hocamızın yaptığını fark ettim. 

---

Teşekkürler Sn hocam özellikle Cauchy-engel çözümünüz çok faydalı oldu benim için

Answer 3

Artmtk. Ort.$\leq$Krsl Ort. eşitsizliğinde Artmtk Ort.$=$Krsl Ort. olabilmesi için $a=b=c$ olması gerekir. Bu durumda $a=b=c=\frac{1}{3}$ verirsek en küçük değer olarak $\frac{5}{4}+\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$ ardından $a=b=c$ eşitliği bozulunca Artmtk. Ort.$<$Krsl Ort. olacağı için $\frac{1+a^2}{1-a^2}+\frac{1+b^2}{1-b^2}+\frac{1+c^2}{1-c^2}$ ifadesi $\frac{15}{4}$'den büyük değerler alır.

Comments

Bu haline nasil bu islem gozuktu? Yani ordan gelecegi hissediliyor evet de, nasil oldugunu anlayamadim..

Ben once sol tarafa $x$ diyip, $x+3$ uzerinden yapardim bu islemi.. Daha acik gibi..

Konuya cok hakim degilim..

---

Hocam ben de tam hakim değilim zaten ama amaç en büyük sayılarla en küçük kareleri elde etmek olduğu için $a=b=c$ vermeliyiz ki amacımıza ulaşalım.

---

"Artmtk. Ort. $\leq$≤Krsl Ort." demissin mesela. Nelerin ortalamalari bunlar. Amaca ulasmak tabi ki guzel ama temelini de belirtmek lazim bence. Yoksa bu tarz sorularin hepsinde $a=b=c$. Yontemi de ortalama esitsizligini kullanmak ama, o esitsizlige uygunlugunu gostermemissin. Sorudaki haliyle pek uygun degil bence.

---

O zaman şöyle diyelim: 

$a,b,c\in R^+$ olmak üzere,

$\frac{a+b+c}{3}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$ şartı her $a,b,c$ üçlüsü için sağlanır. Ama $\frac{a+b+c}{3}=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$ olması için $a=b=c$ olmalıdır. Yani bu eşitlik de karelerin toplamını olabildiğince küçültmemizi sağlar. Bu durumda da $\frac{1+a^2}{1-a^2}+\frac{1+b^2}{1-b^2}+\frac{1+c^2}{1-c^2}$ ifadesi en küçük, yani $\frac{15}{4}$ değerini alır. Ardından da karelerin toplamı büyüdüğü için $\frac{1+a^2}{1-a^2}+\frac{1+b^2}{1-b^2}+\frac{1+c^2}{1-c^2}$ ifadesi $\frac{15}{4}$ ifadesinden büyük değerler alır.

---

ilk dedigine $x,y,z$ dersek eger (notasyonlar karismasin diye) $x=\frac{1+a^2}{1-a^2}$, $y=\frac{1+b^2}{1-b^2}$, $z=\frac{1+c^2}{1-c^2}$ olur.

o zaman $\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}$ karmasik bir hal alir.

---

Moriartied Hocam, Sercan hocamın dediği gibi kullandığınız terimler ve sorudakiler aynı değil o yüzden çözüm olmaz sanırım, ama yazdığınız ortalamaları sorunun içerisinde kullanarak cevaba gitmek mümkün

---

Hocam ortalamaların eşitsizliklerini ilk defa kullanıyorum. Ondan dolayı hatam olabilir yani.

---

sıkıntı yok, zaten maksat hepimiz ogrenelim :)

---

Aynen hocam şu anda Cauchy-Schwarz eşitsizliğini öğrenmeye çalışıyorum. Ordan geliyormuş sanırım.