Kütle merkezi

Question

Köşeleri, $(0,0)$, $(2,0)$ ve $(0,1)$ olan üçgensel bir bölgede yerleştirilmiş bir levhanın herhangi bir $(x,y)$ noktasındaki yoğunluğu $\rho (x,y)=1+2x+y$ şeklinde verildiğine göre, bu levhanın kütlesini ve kütle merkezini hesaplayınız.

Başka bir sitede soruldu, çözümünü yapamadım.

Comments

yoğunluk=kütle/hacim ile bulunur. Ama burada üçgenin hacmi olur mu sorusu akla geliyor.

Alan ile yoğunluk arasında bir ilişki var mı acaba? Üçgenin alanı 2*1/2=1 birimkare

---

Bu tip bir soru zaten bu yüzden aklımı karıştırdı.

Ama herkes çözümünüz gibi çözüyor.

Cevap nedir, çözüm doğru mu bilmiyorum.

---

Yöntem olarak doğrudur. Benzerlik (x ile y arasındaki bağıntı) , şerit alanı, integral sınırı doğrudur.

İşlemlerdeki olabilecek hatalar hariç:)

Answer 1

Üçgeni koordinat düzleminde çizelim. Taban uzunluğu a=2 , yüksekliği=b=1 olur.

Kütle merkezi $x_{CM}$  olsun (center mass).

Dikey şeridin kütlesi $ \rho  y dx  $ olur.

Üçgen benzerliğinden  y/1=x/2  yazılır.

M= $\frac{1}{2} . \rho  ab $ olur. Dolayısıyla,

a=2, b=1,y=x/2 idi.

$ \frac{1}{2}. \rho . a.b.  x_{CM} $=$ \int_{0} ^{2}  (1+2x+y) xy dx$

=$ \frac {1}{2}. \int_{0} ^{2}  (1+2x+(x/2)) x^2 dx$

=$ \frac {1}{2} (8/3+10)=  \frac {19}{3} $

$ x_{CM} $=?

Comments

Yoğunluk sabit olmadığından, sanırım çözümünüz hatalı oluyor.

$\rho (x,y)=1+2x+y$

---

Sanmayın, Dikey şeridin kütlesine yoğunluk dahil edilmiştir.

Yoğunluk sadece bir noktada verilmemiştir. Herhangi bir (x,y) noktasında verilmiştir.

Düzgün yoğunluk olsaydı yoğunluğu hesaba katmaya gerek yoktu. Kütle merkezinin yeri sabit olurdu, değişmezdi. Yoğunluk verildiği için , kütle merkezinin yeri, üçgenin normal kütle merkezinde değildir. Bu nedenle M ye dahil edildi. Alınan dikdörtgensel şerit hesabına dahil edildi.  $ \rho $ görülen  yere 1+2x+y veya 1+2x+(x/2) yazılabilir.