Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
445 kez görüntülendi

Problem[Lokman GÖKÇE]: R>1 olmak üzere f(R)=1x2+y2<R2x2+y2x4+x2y2+y4dxdy olarak tanımlanıyor. Buna göre

limRf(R)

ifadesinin değeri nedir?

 

Not:  Bu soruyla ilgili olarak sunmuş olayım. Limit için sayısal bir değer hesapladım. Karşılaştırma amacıyla istenirse bu değeri de ekleyebilirim.

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 445 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Çözüm: x=rcos(θ), y=rsin(θ) kutupsal dönüşümü yapılırsa 1x2+y2<R2 halkası 0θ<2π ve 1r<R ile sınırlı dikdörtgensel bölgesine dönüşür. x2+y2=r2 dir. Ayrıca, kutupsal dönüşümün Jacobian determinantı |J|=r olduğundan dxdy=|J|drdθ=rdrdθ yazılır. x4+x2y2+y4=(x2+y2)2x2y2=r4r4cos2(θ)sin2(θ) yazılır. Buna göre,

f(R)=2π0R1r2drdθr4(1cos2(θ)sin2(θ))

olur. I1=R1drr2=[1r]R1=11R dir. limR=[11R]=1 olduğunu not edelim. Şimdi (1) integralinin θ değişkeni ile ilgili olan kısmına yönelebiliriz.

I2=2π0dθ1cos2(θ)sin2(θ)=2π04dθ4sin2(2θ)=2π08dθ7+cos(4θ)=8π02dθ7+cos(θ)=π016dθ7+cos(θ) olur. Burada da Weiestrass dönüşümü olarak da bilinen tan(θ/2)=t dönşümü yapılırsa, cos(θ)=1t21+t2 ve dθ=2dt1+t2 olup

I2=π016dθ7+cos(θ)=3202dt1+t27+1t21+t2=160dt3t2+4=163π12=43π3 olur.

 

İstenen limit değeri, I1I2=143π3=43π3 olarak bulunur.
(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,100,740 kullanıcı