Çözüm: x=rcos(θ), y=rsin(θ) kutupsal dönüşümü yapılırsa 1≤x2+y2<R2 halkası 0≤θ<2π ve 1≤r<R ile sınırlı dikdörtgensel bölgesine dönüşür. x2+y2=r2 dir. Ayrıca, kutupsal dönüşümün Jacobian determinantı |J|=r olduğundan dxdy=|J|drdθ=rdrdθ yazılır. x4+x2y2+y4=(x2+y2)2−x2y2=r4−r4cos2(θ)sin2(θ) yazılır. Buna göre,
f(R)=2π∫0R∫1r2drdθr4(1−cos2(θ)sin2(θ))
olur. I1=R∫1drr2=[−1r]R1=1−1R dir. limR→∞=[1−1R]=1 olduğunu not edelim. Şimdi (1) integralinin θ değişkeni ile ilgili olan kısmına yönelebiliriz.
I2=2π∫0dθ1−cos2(θ)sin2(θ)=2π∫04dθ4−sin2(2θ)=2π∫08dθ7+cos(4θ)=8π∫02dθ7+cos(θ)=π∫016dθ7+cos(θ) olur. Burada da Weiestrass dönüşümü olarak da bilinen tan(θ/2)=t dönşümü yapılırsa, cos(θ)=1−t21+t2 ve dθ=2dt1+t2 olup
I2=π∫016dθ7+cos(θ)=32∞∫02dt1+t27+1−t21+t2=16∞∫0dt3t2+4=16⋅√3π12=4√3π3 olur.
İstenen limit değeri, I1⋅I2=1⋅4√3π3=4√3π3 olarak bulunur.