Şun genel önerme işimizi kolaylaştıracaktır:
f(x) (sabit olmayan) periyodik bir fonksiyon ise limx→+∞f(x) (sonsuz olarak bile) var olamaz. İspatı pek zor değil.
Şimdi limx→+∞tanxx=L olduğunu varsayalım. L=0 durumu dışında (sonsuz L durumu dahil) , limx→+∞tanx=limx→+∞tanxxx=L⋅(+∞)={+∞L>0 ise−∞L<0 ise bulunur. Önerme ile çelişiyor. Şimdi de L=0 durumunun imkansız olduğunu gösterelim. limx→+∞tanxx=0 olduğunu varsayalım. ε=12π için
x>M ve x≠(2n+1)π2 için |tanxx|<εolacak şekilde bir M∈R vardır. (0<x<π2 için cosx>1−x2, 0<sinx<x standart eşitsizliklerinden, her n∈N>0 için) tan((2n+1)π2−1n)=cot1n=cos1nsin1n>1−1n21n=n2−1n olur. n>1 ve yeterince büyük seçildiğinde (2n+1)π2−1n>M ve n−1n≥12 olur ve bunun sonucunda,
((2n+1)π2−1n<(n+1)π de kullanarak):
tan((2n+1)π2−1n)(2n+1)π2−1n>n−1nπ≥ε olur. Çelişki. (Biraz daha şık ama daha az elementer olanı da, her n∈N>0 için (nπ,(2n+1)π2) aralığından tanxn=xn şeklinde bir sayının varlığını göstermek olurdu)
(Esas fikir: Her n∈N için limx↑(2n+1)π2tanx=+∞ oluşu)