$Mdx + Ndy = 0$ homojen diferansiyel denklem ise, $x=r.cosß , y=r.sinß$ dönüşümünün bu denklemi r ve ß değişkenleri cinsinden ayrı­labilen bir diferansiyel denkleme dönüştüreceğini gösteriniz.

Question

$Mdx + Ndy = 0$ homojen diferansiyel denklem ise, $x=r\cos \beta , y=r\sin \beta$ dönüşümünün bu denklemi r ve $\beta$ değişkenleri cinsinden ayrı­labilen bir diferansiyel denkleme dönüştüreceğini gösteriniz.

Answer 1

homojen bir diferansiyel denklem olduğundan, $M(x,y)$ fonksiyonunda yerine koyarsak değişkenleri $M(r \cos \beta,r \sin \beta)$  ve  $M(r \cos \beta,r \sin \beta)$  fonksiyonunu elde ederiz. Şimdi $dx$ ve $dy$ yi bulmamız lazım.

$dx = dr\; \cos \beta - d\beta \sin \beta\; r$

$dy=dr\; \sin \beta+d\beta \cos \beta\; r$

$M\;dx+N\;dy=0$ denkleminde yerlerine yazıp değerleri, $dr$ ve  $d\beta$ parantezine alırsak;

$(M\cos\beta+N\sin\beta)dr+(Nr\cos\beta -Mr\sin\beta )d\beta=0$
denklemini elde ederiz. Şimdi, $N$ ve $M$'leri $\cos \beta$ ve $\sin \beta$ cinsinden yazdığımızda hepsi dışarı bir $r$ çıkaracak ve o $r$'leri götürebiliriz. $M$ ve $N$'ler $\beta$ cinsinden olduğundan dolayı $dr$'nin katsayısı $\beta$ cinsindendir ve $d\beta$'nin katsayısını $r$ parantezine alıp, hertarafı $r$'ye ve $dr$'nin katsayısına böldüğümüzde, diferansiyel denklemi ayırmış oluruz.

$$\frac{dr}r+\frac{N\cos\beta-M\sin\beta }{M\cos\beta+N\sin\beta} d\beta=0$$

Comments

Latex ile yazdım. $M$ ve $N$ , aynı mertebeden homojen olmalı.

Answer 2

Teşekkür ederim.