Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

Bir eğrinin parametrik denklemleri

x = t - tanh t  ve  y = sech t  olarak verilmiştir.

0 ve ln 2  parametreli noktalar arasındaki eğri yayı,

 x ekseni etrafında döndürülmüştür.

Oluşan eğri yüzeyinin  alanını $ \pi $ cinsinden hesaplayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (3.9k puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

$ \dot x=tanh^ 2 {t} $

$ \dot y =-tanh t .  sech t $ 

$ \sqrt {\dot x^2+\dot y^2} =\sqrt{tanh^4 t +tanh^2 t . sech^2 t}$

olduğunu buldum.

Eğri yüzeyinin alanını bulmak için integral nasıl hesaplanacak?


1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Yay uzunluğu, $dS=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt$ dir. Bunu, $2\pi y(t)$ şeridinin uzunluğuyla çarpıp integre etmek lâzım. Hata yoksa şöyle olmalı:

$A=2\pi\int_0^{\ln 2} y(t)dS(t)=$ 

$2\pi\int_0^{\ln 2} \,dt\, \mbox{sech}\, t\,\sqrt{\tanh^4 t+\tanh^2 t \,\mbox{sech}^2\, t} =$ 

$2\pi\int_0^{\ln 2} \,dt\, \mbox{sech}\, t\,\sqrt{\frac{\sinh^4 t+\sinh^2 t}{\cosh^4t}}=$ 

$2\pi\int_0^{\ln 2} \,dt\, \tanh t\, \mbox{sech}\, t=$ 

$-2\pi \,\mbox{sech}\,t\big|_0^{\ln 2} =0,4\,\pi.$ 

Yukarıda $1+\sinh^2t=\cosh^2 t$ özdeşliği kullanılmıştır. İntegral alınırken de $z=\cosh t$ dönüşümü yapılmıştır.

(1.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

$ -2  \pi  [ sech (ln2)-sech(0) ]  = ? $ 

ifadesinin sonucunu kontrol edebilir misiniz?

$\mbox{sech}(\ln 2)=0,8$ ve $\mbox{sech}(0)=1$ olmalı. Farkları da $-0,2$.

Siz kaç buldunuz?

$ sech t= \frac {2}{e^t+e^{-t}} $ 

olduğundan t=ln2 için  $sech (ln2)= \frac {2}{2-{\frac{1}{2}}} = 4/3 $

ve sech(0) =2/(1+1)=1   buldum.

Nerede hata olabilir?  


Sizinki doğru. Ben makinayla yaptım, hata olmuş demek ki. Özür dilerim. 

Bu durumda negatif çıkıyor sonuç! Ara işlemlere bakma lâzım problem nerede diye. Ben ilk bakışta göremedim de...

İlginiz için teşekkür ederim. Bu durumda cevap $ - \frac {2}{3}.  \pi $ olmaktadır.

Cevabınızı buna göre düzeltebilir misiniz?


Buldum, buldum...

Hesabınız yanlış:

$\frac{2}{2+\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}=0,8$

ediyor. 

$e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$ oluyor. $-\frac{1}{2}$ değil. (-) işareti 2'yi ter çeviriyor zaten.

Evet haklısınız. Elinize sağlık.

$ e^{-log(2)}  nin sonucunu $   

http://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E-log2

şeklinde öğrenmek mümkün :)


20,248 soru
21,774 cevap
73,416 yorum
2,144,346 kullanıcı