Bir eğrinin parametrik denklemleri
x = t - tanh t ve y = sech t olarak verilmiştir.
0 ve ln 2 parametreli noktalar arasındaki eğri yayı,
x ekseni etrafında döndürülmüştür.
Oluşan eğri yüzeyinin alanını π cinsinden hesaplayınız.
˙x=tanh2t
˙y=−tanht.secht
√˙x2+˙y2=√tanh4t+tanh2t.sech2t
olduğunu buldum.
Eğri yüzeyinin alanını bulmak için integral nasıl hesaplanacak?
Yay uzunluğu, dS=√˙x2+˙y2dt dir. Bunu, 2πy(t) şeridinin uzunluğuyla çarpıp integre etmek lâzım. Hata yoksa şöyle olmalı:
A=2π∫ln20y(t)dS(t)=
2π∫ln20dtsecht√tanh4t+tanh2tsech2t=
2π∫ln20dtsecht√sinh4t+sinh2tcosh4t=
2π∫ln20dttanhtsecht=
−2πsecht|ln20=0,4π.
Yukarıda 1+sinh2t=cosh2t özdeşliği kullanılmıştır. İntegral alınırken de z=cosht dönüşümü yapılmıştır.
−2π[sech(ln2)−sech(0)]=?
ifadesinin sonucunu kontrol edebilir misiniz?
sech(ln2)=0,8 ve sech(0)=1 olmalı. Farkları da −0,2.
Siz kaç buldunuz?
secht=2et+e−t
olduğundan t=ln2 için sech(ln2)=22−12=4/3
ve sech(0) =2/(1+1)=1 buldum.
Nerede hata olabilir?
Sizinki doğru. Ben makinayla yaptım, hata olmuş demek ki. Özür dilerim.
Bu durumda negatif çıkıyor sonuç! Ara işlemlere bakma lâzım problem nerede diye. Ben ilk bakışta göremedim de...
İlginiz için teşekkür ederim. Bu durumda cevap −23.π olmaktadır.
Cevabınızı buna göre düzeltebilir misiniz?
Buldum, buldum...
Hesabınız yanlış:
22+12=45=0,8
ediyor.
e−ln2=12 oluyor. −12 değil. (-) işareti 2'yi ter çeviriyor zaten.
Evet haklısınız. Elinize sağlık.
e−log(2)ninsonucunu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E-log2
şeklinde öğrenmek mümkün :)