Parametrik denklemlerde türev

Question

Parametrik denklemleri $ x=e^{2t}  $ ve $y=e^{3t} $ olan eğrinin x'e göre ikinci türevini bulunuz.

Comments

Sanirim cözüm bu sekilde ama ikinci adimda bölümün türevini alirken hata yapiyorum:

$\dfrac {dy} {dx}=\dfrac {dy / dt} {dx / dt}=\dfrac {e^{3t}.3} {e^{2t}.2}$

$\dfrac {d\left( \dfrac {e^{3t}.3} {e^{2t}.2}\right)  / dt} {dx / dt}$

---

Birinci türev doğru. 1.türev ifadesini sadeleştirebilirsin. Hatırlatma: Tabanlar aynı ise üsler toplanır.

---

Cevap$ \dfrac {1} {12e^{t}}$ mi?

---

3/2 'yi ne yaptın?

---

$\dfrac {3} {4e^{t}}$ buldum şimdi de, tekrar hata yapmadiysam tabi :/

---

1.türev $ \frac{3e^t}{ 2}$ idi.

---

Evet onu yerine yazıp 2. türevi almistim

---

2. türev de 1.türevle niçin aynı olmadı?

---

Neden aynı olmali ki? Soru $\dfrac {d^{2}y} {dx^{2}}$ bu ifadeyi istiyor ve ikinci türev alirken payda kisminda x in t ye gore turevi de olmali,nerede hata yapiyorum?

---

Payda'da türev alırken hata olmakta.

Artık en başta olduğu gibi elinde aynı x ve y yok. 

Elde sadece 2.türev olan y var (sadece t ye bağlı).

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}. \frac{dt}{dx}$

Daha iyi anlamak için t parametresini ele.

y'nin x'e göre 2.türevini al. Sonuçları karşılaştır.

---

Çözümü yazarsanız benim için daha iyi olacak gibi :)

Answer 1

$x=e^{2t}$ , buradan $(e^t)^2=x $ olur.

$y=e^{3t}$,  buradan da  $ (e^t)^3= y$ olur.

$e^t= y^{1/3}$

$ (e^t)^2= y^{2/3} $

$ x= y^{2/3} $

$ y^2=x^3 $

$2yy'=3x^2$

$\frac {dy} {dx}=\frac{3x^2}{2y}$

x, y yerine konursa $\frac{3e^4t}{2e^3t}$, sadeleştirilirse,

=$ \frac{ 3e^{4t} .e^{-3t} } {2} $

=$\frac{3e^t}{2}$

Bu da  parametrik türev alınırsa şuna eşit olur:

$\frac {d \dot{ y}} {d \dot {x}}=\frac{3e^t}{2}$ 

y nokta, y nin t 'ye göre türevidir. x nokta, x'in t'ye göre türevidir.