Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
429 kez görüntülendi

${x-y}$ ekseninde kapalı bir çizgimiz olsun. ${z=F(x,y)}$ yüzeyinin , bu çizgi üzerine dik izdüşümü ile sınırlanan , ${z=F(x,y)}$ yüzeyinin alanını nasıl bulabiliriz?

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 429 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Öncelikle, $$F(x,y)=z$$ yüzey denklemini $$G(x,y,z)=F(x,y)-z=0$$ formunda yazalım. 

Yüzeyin alan elemanın $dS$, düzleme izdüşüm alanına $dA$ diyelim. Bu ikisi arasında $$dS=\frac{dA}{\cos \theta}$$ ile verilir. Burada $\theta$ açısı, $dS$ elemanıyla $dA$ elemanı arasındaki açı veyâ eşdeğer olarak yüzeyin o noktadaki normaliyle $\hat k$ vektörü arasındaki açıdır. $\hat k$ burada $z$ yönündeki birim vektörü göstermektedir. O halde $$\cos \theta =\frac{|\nabla G\cdot \hat k|}{|\nabla G|}$$ buluruz. Bunu yukarıda kullanırsak, $$dS=\frac{|\nabla G|}{|\nabla G\cdot \hat k|}\,dx\,dy $$ Geriye izdüşüm bölgesi üzerinden integral almaya kalıyor:  $$S=\int \int\frac{|\nabla G|}{|\nabla G\cdot \hat k|}\,dx\,dy.$$

(1.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkürler hocam.

20,204 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,893 kullanıcı