Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
75 kez görüntülendi
$\sinh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ olduğunu gösterin.
Lisans Matematik kategorisinde (267 puan) tarafından  | 75 kez görüntülendi
Yazdığım gibi eğer yanıtlayan olmaz ise kendim yanıtı eklerim
Güzel soru. Çözümü aşağıdadır.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Çözüm: $y=f(x)= \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{e^{2x} - 1}{2e^x}$ yazalım. Buradan,

$e^{2x} - 1 = 2ye^{x} $ olup $e^{2x} - 2ye^{x} = 1$ olarak düzenleyelim. Her iki tarafa $y^2$ eklersek $\left(e^x - y \right)^2 = y^2+1$ olur. Böylece

$$ e^x = y + \sqrt{y^2+1} >0$$

veya

$$ e^x = y - \sqrt{y^2+1} < 0$$

olmalıdır. $e^x>0$ olduğundan ikinci durum mümkün değildir ve yalnızca $ e^x = y + \sqrt{y^2+1} $ durumunu gözönüne alırız. Buradan da $ x=\ln \left( y + \sqrt{y^2+1}\right) $ olup 

$$ f^{-1} (x) = \sinh^{-1} x =  \ln \left( x + \sqrt{x^2+1}\right)$$

elde edilir.

(1.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Benzer şekilde $\cosh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$
19,468 soru
21,189 cevap
71,133 yorum
27,346 kullanıcı