Question

$\sinh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ olduğunu gösterin.

Comments

Yazdığım gibi eğer yanıtlayan olmaz ise kendim yanıtı eklerim

---

Güzel soru. Çözümü aşağıdadır.

Answer 1

Çözüm: $y=f(x)= \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{e^{2x} - 1}{2e^x}$ yazalım. Buradan,

$e^{2x} - 1 = 2ye^{x} $ olup $e^{2x} - 2ye^{x} = 1$ olarak düzenleyelim. Her iki tarafa $y^2$ eklersek $\left(e^x - y \right)^2 = y^2+1$ olur. Böylece

$$ e^x = y + \sqrt{y^2+1} >0$$

veya

$$ e^x = y - \sqrt{y^2+1} < 0$$

olmalıdır. $e^x>0$ olduğundan ikinci durum mümkün değildir ve yalnızca $ e^x = y + \sqrt{y^2+1} $ durumunu gözönüne alırız. Buradan da $ x=\ln \left( y + \sqrt{y^2+1}\right) $ olup 

$$ f^{-1} (x) = \sinh^{-1} x =  \ln \left( x + \sqrt{x^2+1}\right)$$

elde edilir.

Comments

Benzer şekilde $\cosh^{-1}x=ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$

Answer 2

$e^{2x} - 2ye^{x} = 1 \to e^{2x} - 2ye^{x} -1 = 0$ ve $e^{x}=u$ olsun. $u^2-2yu-1=0$

$u= 2y +2 \sqrt{1+y^2} /2 = y+ \sqrt {1+y^2}$

$x=lnu= ln(y+\sqrt{1+y^2})$ $\to x\iff y$ O halde, $y=ln(x+\sqrt{1+x^2)}$

Comments

$u^2-2yu-1=0$ ise $u=y\pm\sqrt{1+y^2}$ olmaz mı?