Gerçel sayı dizilerinde yakınsaklık tanımı

Question

$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ gerçel sayı dizisi ve $x\in\mathbb{R}$ olsun.

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n \,\ (n>N\to |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n \,\ (n>N\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},(n>N\to |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},(n>N\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\lim x_n=x:\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists N_{\epsilon}\in\mathbb{N},\forall n>N_{\epsilon}, |x_n-x|<\epsilon$$

ifadeleri arasında fark var mıdır?

Comments

Sen ne dusunuyorsun?

---

Bir fark olmadığı kanaatindeyim.

---

Şu sorular ipucu verecektir:

1. $\rightarrow$ ne demek? ($\Rightarrow$ ile aynı şey mi?)

2. $(n>N\Rightarrow |x_n-x|<\varepsilon)$ bir önerme mi?

Answer 1

Önerme elde etmenin bir yolu da, açık önermelerdeki değişkenlerin önüne niceleyiciler getirmek suretiyle yapılır. Örneğin $$p(x,y):``x+y=0"$$ açık önermesini ele alırsak bu açık önermedeki değişkenlerin önüne değişik sıralarda değişik niceleyiciler koymak suretiyle $$(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})(x+y=0)$$ ve $$(\exists y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R})(x+y=0)$$ önermeleri elde edilir. Benzer şekilde $(x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$  ve  $x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$p(\epsilon,K,n):``n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon"$$ açık önermesindeki değişkenlerin önüne farklı niceleyiciler getirmek suretiyle farklı önermeler elde edilebilir. Bunlardan bir tanesi $$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N})(\underset{p(\epsilon, K,n)}{\underbrace{n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon}})$$ önermesidir. Reel analizde bu önerme doğru ise $(x_n)$ gerçel sayı dizisi, $x$ gerçel sayısına yakınsıyor denir ve bu durum $$x_n\rightarrow x$$ ile gösterilir. Şimdi bu tanımı formel bir şekilde yazıp üzerinde biraz düzenleme yapalım. $(x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$  ve  $x\in\mathbb{R}$  olsun.

$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[\underset{p}{\underbrace{n\in \mathbb{N}}}\Rightarrow (\underset{q}{\underbrace{n\geq K}}\Rightarrow\underset{r}{\underbrace{ |x_n-x|<\epsilon}})]$$

$$\overset{p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r}{\Leftrightarrow}$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[(n\in \mathbb{N}\wedge n\geq K)\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})[(n\in \mathbb{N}\wedge n\in\{K,K+1,K+2,\ldots\})\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\in \mathbb{N}\cap \{K,K+1,K+2,\ldots\}\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\in \{K,K+1,K+2,\ldots\}\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

O halde tanımı en sade biçimde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Tanım: $(x_n)\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$  ve  $x\in\mathbb{R}$  olmak üzere

$$x_n\rightarrow x:\Leftrightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(n\geq K\Rightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$

Not: Son olarak tanımda $``n\geq K"$ ifadesi yerine $``n>K"$ ifadesi yazılabilir. Hangisinin yazıldığı önemli değildir.