Question

Genel terimi $x_n=\ln n$ olan $(x_n)_n$ gerçel sayı dizisinin sınırlı olmadığını gösteriniz.

Answer 1

S herhangi bir pozitif reel sayı olsun. n ve m birer doğal sayı olmak üzere n > S ve m > e^n ise ln(m) > ln(e^n) = n > S ve dizinin m. terimi böylelikle verilen sınırı geçer. Dizi sınırlı olamaz.

Answer 2

$(\ln n)_n$ dizisinin sınırlı olduğunu varsayalım.

$$\begin{array}{rcl} (\ln n)_n \text{ sınırlı} & \Rightarrow & (\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(|\ln n|=\ln n\leq M) \\ \\  &\Rightarrow & (\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})\left(n\leq e^M\right) \\ \\ & \Rightarrow & e^M, \ \mathbb{N}\text{'nin üst sınırı} \\ \\ & \Rightarrow & \mathbb{N}\text{ üstten sınırlı} \end{array}$$
Bu ise doğal sayılar kümesinin üstten sınırlı olmaması ile çelişir.

Answer 3

Başka bir yanıt:

Her $M>0$ için $n=\lfloor e^M\rfloor+1\in\mathbb{N}$ seçilirse

$$n=\lfloor e^M\rfloor+1\Rightarrow n>e^M$$

olduğundan

$$|\ln n|=\ln n>M$$

koşulu sağlanır. O halde $(\ln n)$ dizisi sınırlı değildir.