$|a-b|<\epsilon$, $\epsilon$ herhangi bir reel pozitiv sayı olabiliyor ise $a=b$ olur peki ya limit tanımı neden böyle değil?

Question

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$   olarak tanımlıysa;

$|f(x)-L|<\epsilon$  olan her $\epsilon>0$ için bu eşitliği sağlayan $0<|x-a|<\delta$ bulabiliriz demek.

$-------------------------------$

$|a-b|<\epsilon$  için  her $\epsilon>0$ olabiliyor ise $a=b$ olur.

Peki ya limit tanımı neden böyle değil?

Neden direkt olarak 

$|f(x)-L|<\epsilon$  için  $f(x)=L$ demiyoruz?

Answer 1

$a,b\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$(\forall\epsilon>0)(|a-b|<\epsilon)\Rightarrow a=b$$ önermesi ile $A\subseteq\mathbb{R}, \,\ f\in \mathbb{R}^A,$  $a\in D(A)$ (yani $a,$ $A$ kümesinin bir yığılma noktası) ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$ önermesi aynı şeyler değil.

Comments

$(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$ bu olurken de gene $f(x)=L$ diyebiliriz bence, tatmin olamıyorum :( Tamam cevap $f(x)$'in değişkenliği ve
$\epsilon$'un esnekligi ama belki biraz daha ilginç bir şey olabilir diye sormuştum.