Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
250 kez görüntülendi

Sorum basit,$$(\forall\epsilon>0)(\exists N\in\mathbb R)(\forall n\in\mathbb N)(n>N\Longrightarrow |x_n-x|<\epsilon)$$Bu tanımdaki $\epsilon >0$ yerine $\mu>0$ için $\mu\epsilon$ alalım alalım ama bu doğru mudur(bence kesinlikle evet çünkü eğer $\epsilon$ tüm pozitif reel sayılar olabiliyorsa bir pozitif reel sayı ile çarpımı bu küme altında kapalı olacagından gene tüm pozitif sayıları sağlar)eğer dogru ise ispatını yapmak için parantez içinde yazdığım "pozitif reel sayılar kümesinin çarpma altında kapalılıgın"ı kullanmak yeterli olur mu?

Bir örnek;

$n\to\infty$ için yakınsak iki limitin, limitleri toplamının, toplamının limitine eşit olduğunun ispatını yapalım;

$(x_n)_n$  ve  $(y_n)_n$ yakınsak dizilerinin lımıtlerı sırasıyla $x,y$ olsun.
 
$n>N_1$ için $|x_n-x|<\epsilon $(tanım geregi)

ve  

$n>N_2$ için $|y_n-y|<\epsilon$(tanım gereği) 


$N=\max\{N_1,N_2\}$

$|x_n+y_n-x-y|\le|x_n-x|+|y_n-y|<2\epsilon$  dikkat edilirse $2 \epsilon$ bulduk.

Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından  | 250 kez görüntülendi
19,697 soru
21,400 cevap
71,870 yorum
222,088 kullanıcı