$0$'dan başka bir reel sayıya yakınsayan $(x_n)_n$ dizisinin belli bir $n$ göstergecinden sonra hep pozitiv veya hep negativ olduğunu ispatlayınız.

Question

Matematik litaratürüne alışmak için bu yöntemleri iyice anlamaya çalışıyorum, yöntemim doğru mu?


$$\spadesuit$$

$(x_n)_n$  yakınsak olduğundan, yakınsadığı değeri $L\neq 0 $ olan bir reel sayı seçelim.

$$n\ge N(\in\mathbb N)$$ için

$$|x_n-L|<\epsilon$$ olur.

Reel sayıların aksiyomlarından dolayı $$|x_n-L|<\delta'\le \epsilon$$  olan bir $\delta'$ bulabiliriz.


1. durum:($L>0$ ise;)



$$|x_n-L|<\delta'<\epsilon\quad\to\quad -\epsilon+L\le -\delta'+L<x_n<\delta'+L<\epsilon+L$$

$\delta'$ 'sayısını $L$ den küçük seçebilirim. ($L$ tanım gereği pozitiv, $\epsilon$'dan küçük $\delta'$ lar zaten sağlar.)

Ki bu da $n>N$'yi sağlayan $n$ göstergeçleri ve daha büyükleri için $x_n$'lerin hep pozitiv olduğunu ispatlar.$\Box$



2. durum:($0>L$ ise;)

Tüm ispat mantığı aynı, eşitsizlik yönleri farklı.

Comments

Birinci sorum: $\delta'$'a niçin ihtiyacın var? Zaten elinde $-\epsilon + L < x_n$ gibi bir eşitlik yok mu? $\epsilon < L$ seçersen, $0 < x_n$ gelmiyor mu?

Ikinci sorum: Hadi diyelim ihtiyacın var. O üstündeki $'$ işaretini niye koydun? Ortamda $\delta$ yok ki! Sırf cevap yazacaklara işkence olsun diye mi?

Ikinci durum için şey diyebilirsin: $y_n = -x_n$ dizisini düşünelim. Bu yeni dizinin limiti pozitif olacaktır. Birinci durumu $y_n$'e uygulayabiliriz...

---

Aynen dedıgın gıbı ama, bunları vererek nerede hatam oldugunu rahatca soyleyebılsınler dıye dedım, mısal suan dedıgın gıbı "$\delta'$'ya ihtiyacın yok hatta $\delta$ya bile yok" başta dedıgını dusundum ancak, epsilon zaten tanım geregi orada oldugundan belkı bu şekılde denenebılır.

Zaten durum apacık, epsilon kadar yaklaştıgında iş çözülüyor ama o zaman da gosterılcek bırşey yok ee pekı bu adam nıye sormuş bunu kıtapta diyerek kafam bir an çorba olmuş.

feedback için teşekkürler.

---

Sence neden olabilir? Hep pozitif hep negatif olacak bilgisi bence onemli bir bilgi.

Answer 1

$L>0$ olsun. $\epsilon=L>0$ icin oyle bir $N$ degeri vardir ki $n>N$ oldugunda $$|x_n-L|<L$$ saglanir, yani $$0<x_n<2L$$ saglanir.

$L<0$ olsun. $\epsilon=-L>0$ icin oyle bir $N$ degeri vardir ki $n>N$ oldugunda $$|x_n-L|<-L$$ saglanir, yani $$2L<x_n<0$$ saglanir.

Comments

çok mantıklı $\epsilon=\pm L$ seçmek