Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
276 kez görüntülendi
Matematik litaratürüne alışmak için bu yöntemleri iyice anlamaya çalışıyorum, yöntemim doğru mu?


$$\spadesuit$$

$(x_n)_n$  yakınsak olduğundan, yakınsadığı değeri $L\neq 0 $ olan bir reel sayı seçelim.

$$n\ge N(\in\mathbb N)$$ için

$$|x_n-L|<\epsilon$$ olur.

Reel sayıların aksiyomlarından dolayı $$|x_n-L|<\delta'\le \epsilon$$  olan bir $\delta'$ bulabiliriz.


1. durum:($L>0$ ise;)



$$|x_n-L|<\delta'<\epsilon\quad\to\quad -\epsilon+L\le -\delta'+L<x_n<\delta'+L<\epsilon+L$$

$\delta'$ 'sayısını $L$ den küçük seçebilirim. ($L$ tanım gereği pozitiv, $\epsilon$'dan küçük $\delta'$ lar zaten sağlar.)

Ki bu da $n>N$'yi sağlayan $n$ göstergeçleri ve daha büyükleri için $x_n$'lerin hep pozitiv olduğunu ispatlar.$\Box$



2. durum:($0>L$ ise;)

Tüm ispat mantığı aynı, eşitsizlik yönleri farklı.
Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi | 276 kez görüntülendi

Birinci sorum: $\delta'$'a niçin ihtiyacın var? Zaten elinde $-\epsilon + L < x_n$ gibi bir eşitlik yok mu? $\epsilon < L$ seçersen, $0 < x_n$ gelmiyor mu?

Ikinci sorum: Hadi diyelim ihtiyacın var. O üstündeki $'$ işaretini niye koydun? Ortamda $\delta$ yok ki! Sırf cevap yazacaklara işkence olsun diye mi?

Ikinci durum için şey diyebilirsin: $y_n = -x_n$ dizisini düşünelim. Bu yeni dizinin limiti pozitif olacaktır. Birinci durumu $y_n$'e uygulayabiliriz...

Aynen dedıgın gıbı ama, bunları vererek nerede hatam oldugunu rahatca soyleyebılsınler dıye dedım, mısal suan dedıgın gıbı "$\delta'$'ya ihtiyacın yok hatta $\delta$ya bile yok" başta dedıgını dusundum ancak, epsilon zaten tanım geregi orada oldugundan belkı bu şekılde denenebılır.

Zaten durum apacık, epsilon kadar yaklaştıgında iş çözülüyor ama o zaman da gosterılcek bırşey yok ee pekı bu adam nıye sormuş bunu kıtapta diyerek kafam bir an çorba olmuş.

feedback için teşekkürler.

Sence neden olabilir? Hep pozitif hep negatif olacak bilgisi bence onemli bir bilgi.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$L>0$ olsun. $\epsilon=L>0$ icin oyle bir $N$ degeri vardir ki $n>N$ oldugunda $$|x_n-L|<L$$ saglanir, yani $$0<x_n<2L$$ saglanir.

$L<0$ olsun. $\epsilon=-L>0$ icin oyle bir $N$ degeri vardir ki $n>N$ oldugunda $$|x_n-L|<-L$$ saglanir, yani $$2L<x_n<0$$ saglanir.

(24.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

çok mantıklı $\epsilon=\pm L$ seçmek

19,695 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
219,788 kullanıcı