$\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$ dizisinin herhangi reel sayıya yakınsayan alt dizileri bulunabilir mi?

Question

Daha önce bu dizinin üst limiti var mıdır diye sormuştum. Yusuf Ünlü

$\lim \sup_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin\left( n+1\right) x}=\infty $

olduğunu göstererek soruyu çözdü. Çözümünden benzer şekilde,

$\lim \inf_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin nx}{\sin\left( n+1\right) x}=-\infty $

olduğu görülebilir. Şimdi şöyle bir soru sorulabilir, acaba herhangi bir reel sayı verildiğinde

$\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$

dizisinin bu reel sayıya yakınsayan bir alt dizisi bulunabilir mi?

Answer 1

$a$ bir irrasyonel sayı olmak üzere, $x=a\pi $ için

$F_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( n+1\right) x}{\sin nx}$, ( $n=1,2,3,...$)

dizisinin limit noktaları kümesinin $\left( -\infty
,\infty \right) $ aralığı olduğunu göstermek yeterlidir.

( $x=r\pi $ ve $r$ rasyonel olursa, $F_{n}\left( x\right) $ dizisinin sonsuz teriminin paydası sıfır olur).
\begin{equation*}
F_{n}\left( x\right) =\cos x+\sin x\frac{\cos nx}{\sin nx}
\end{equation*}
yazabiliriz. $x=a\pi $ ve $a$ irrasyonel olduğundan, $\sin x\neq 0$ olur. O halde problemi çözmek için $\frac{\cos nx}{\sin nx}$, ( $
n=1,2,3,...$) dizisinin limit noktaları kümesinin $\left( -\infty
,\infty \right) $ aralığı olduğunu göstermek yeter.

Herhangi $\alpha \in \left[ -1,1\right] $ alalım. $\sin y=\alpha $ olacak şekilde bir tek $y\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] $ vardır.

$a=\frac{x}{\pi }$ irrasyonel olduğundan, $\left\{ na+k\right\} ,$ ( $
n\in \mathbb{N}$, $k\in \mathbb{Z}$) kümesi $\mathbb{R}$ de yoğundur.

O halde, her $n\in \mathbb{N}$ için
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi }y<p_{n}a+q_{n}<\frac{1}{2\pi }\left( y+\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}
sağlanacak şekilde $p_{n}\in \mathbb{N}$ ve $q_{n}\in \mathbb{Z}$ vardır.

Buradan
\begin{equation*}
0<\left\vert y-2\pi \left( p_{n}a+q_{n}\right) \right\vert <\frac{1}{n}
\end{equation*}
olur. Şimdi, $\left\vert \sin u-\sin v\right\vert \leq \left\vert
u-v\right\vert $ kullanılırsa,
\begin{eqnarray*}
0 &\leq &\left\vert \alpha -\sin \left( 2\pi ap_{n}\right) \right\vert
=\left\vert \sin y-\sin \left( 2\pi ap_{n}+2\pi q_{n}\right) \right\vert  \\
&\leq &\left\vert y-2\pi \left( ap_{n}+q_{n}\right) \right\vert <\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}
olur. Buradan
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sin \left( 2p_{n}x\right) =\alpha
\end{equation*}
bulunur.
\begin{equation*}
y\in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \text{ ve }y<2\pi \left(
p_{n}a+q_{n}\right) <y+\frac{1}{n}
\end{equation*}
olduğundan
\begin{equation*}
\cos 2\pi \left( p_{n}a+q_{n}\right) =\cos \left( 2p_{n}x\right) =\sqrt{%
1-\sin ^{2}\left( 2p_{n}x\right) }
\end{equation*}
olur. Buradan da,
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos \left( 2p_{n}x\right) }{\sin \left(
2p_{n}x\right) }=\frac{\sqrt{1-\alpha ^{2}}}{\alpha }
\end{equation*}
elde edilir. Burada $\alpha \in \left[ -1,1\right] $ olduğundan $\frac{\sqrt{1-\alpha ^{2}}
}{\alpha }$ ifadesi $\left( -\infty ,\infty \right) $ aralığını
tarar.

Answer 2

Bu sorunun cevabı evettir. Bu önermenin kanıtı aslında $\lim \sup \frac{\sin nx}{\sin \left(
n+1\right) x}=\infty $ olduğunu kanıtlarken kullandığımız yöntemde bulunabilir.

$0\neq \alpha \in \mathbb{R\ }$ herhangi bir sayı olsun. $\beta = arccot \left( -\cot x+\frac{1}{\alpha \sin x}\right) \in \left( 0,\pi
\right) $ koyalım. $0<\frac{\beta }{\pi }<1$ dir.  $\frac{x}{\pi }$ irrasyonel olduğundan  $D=\left\{ a+b\frac{x}{\pi }:a\in \mathbb{Z}\text{
, }b\in \mathbb{N}\right\} $ kümesi $\mathbb{R}$ de yoğundur. O halde
\[
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}+b_{n}\frac{x}{\pi }\right) =\frac{
\beta }{\pi }\Longrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\left( a_{n}\pi
+b_{n}x\right) =\beta \text{ ve }0<a_{n}\pi +b_{n}x<\pi
\]
olacak şekilde $\left( a_{n}\right) \subset \mathbb{Z}$, $\left(
b_{n}\right) \subset \mathbb{N}$ alt dizileri vardır. $\cot $ fonksiyonu $
\left( 0,\pi \right) $ de sürekli olduğundan $\lim_{n\rightarrow
\infty }\cot \left( b_{n}x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }\cot \left(
a_{n}\pi +b_{n}x\right) =\cot \beta $ olur.
Buradan

\[
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin b_{n}x}{\sin \left( b_{n}+1\right) x}
=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sin x}\frac{1}{\cot x+\cot b_{n}x}=
\frac{1}{\sin x}\frac{1}{\cot x+\cot \beta }=\alpha
\]
elde edilir. O halde $\alpha \neq 0$ sorunun cevabı evettir. Fakat $0$ sayısı $\mathbb{R-}\left\{ 0\right\} $ kümesinin bir yığılma noktası olduğundan $\frac{\sin nx}{\sin \left( n+1\right) x}$ dizisinin limiti $0$ olan bir alt dizisi bulunabilir.

Not : Cevabı girdiğim sırada İlham Aliyev'in de bir cevap girdiğine dikkat etmemişim. Pardon. İki cevap bence tamamen ayni. Çünkü problemi çözen fikir $D=\left\{ a+b\frac{x}{\pi }:a\in \mathbb{Z}\text{
, }b\in \mathbb{N}\right\} $ kümesinin $\mathbb{R}$ de yoğun olasında yatıyor.