Basit saçılma sistemlerindeki dalga ve saçılma işlemcilerinin var olması

Question

Makaleye kaldığımız yerden devam edelim.

Tanım (Basit saçılma sistemi): $M$ altuzayı; $\forall \omega\in\mathbb{R}$: $Hf=\omega f$ şartını sağlayan $f\in\mathcal{H}$ elemanları tarafından gerilmiş bir kapalı doğrusal çokkatlısı olsun. $M^\perp$ dik tümleyenini kısaca $N$ olarak gösterelim. $$\begin{equation} N\subset R \ \ \textbf{(3)}\end{equation}$$ şartını sağlayan bir saçılma sistemine basit saçılma sistemi denir.

Not: Bu şartın anlamı $H$ sürekliliğinde $H_0$ ile ilişkili olanların dışında başka saçılma durumlarının olmamasıdır.

Soru 1: Tek kanallı saçılma süreçlerinin (saçılma durumları tamamen $H$ ve $H_0$ tarafından betimlenebiliyor) basit saçılma sistemleriyle ilgisi nedir?

Ek soru: Her zaman $R\subset N$'nin geçerli olduğunu gösterebilirmisiniz?

Tanım (Dalga işlemcileri): Bütün $\mathcal{H}$'de tanımlı, $R$ bölgeli, $\|\Omega_\pm\|=1$ olan ve
$\Omega_\pm f=f_\pm$ ya da $\Omega_\pm=lim_{t\rightarrow \mp \infty}V_t^* U_t$ şartlarını sağlayan $\Omega_\pm$ işlemcilerine dalga işlemcileri denir.

Soru 2: $\Omega_\pm$ işlemcilerinin var olduğunu gösterebilirmisiniz?

Tanım (Saçılma işlemcisi, bazen S matrisi): $S=\Omega_-^*\Omega_+$ işlemcisine saçılma işlemcisi denir(bölgesi aynı).

Soru 3: $S$'nin varlığı ve üniterliğini gösterebilirmisiniz?

Soru 4: Bir $V(\vec{x})$ potensiyal enerji işlemcisinin oluşturduğu etkileşim bölgesine (bu adlandırılış matematiksel olarak da anlamlı)  nüfüz eden bir parçacığımız var diyelim. Bölgeye giriş durumu $\psi_{gir}$ (en baştaki), bölgeden çıkış durumu (en sondaki durumu, parçacık 'saçılmış') $\psi_{çık}$ ile gösterilsin. O zaman, parçacık durumunun bölgedeki gelişiminden sonra aldığı hali bir saçılma işlemcisi aracılığıyla belirlenir: $\psi_{çık}=S\psi_{gir}$ (aynı, bağlı durumlar zaman evrimi işlemcisi gibi, fark burada en baş/son olması ve asimptotik tamlık postulatı). Bu soruda tek boyutlu Hilbert uzayımız olsun ve etkileşimi biliyor olalım:$\theta$ Heaviside fonksiyonu, $V(x)=V_0(\theta(x)-\theta(x-a))$ (Parçacık fizik deneylerinde durum tam tersi, saçılma işlemcisinin bazı özellikleri biliniyor, etkileşimi belirleyen işlemci çok karmaşık, orada ne olup bittiği giriş ve çıkış durumları incelenerek anlaşılmaya çalışılıyor). $\psi_{gir}$, $\psi_{çık}$'yi ve de $S$ işlemcisini ya da $S$ burada doğrusal olduğundan $S$ matrisini bulabilirmisiniz?
bir soruyla ilgili:Kutudaki parçacığa ne oldu?


Tanım (Tınlaşım durumu): Bir sistemin ömrü sonlu olan durumlarına tınlaşım durumları denir. Bunlar S matrisinin gerçel sayılar ekseninde olmayan enerji değişkenindeki kutuplarıdır (neden?). Bu kutuplar sistem Hamiltonyeninin analitik olarak uzatılmış resolventiyle ilişkilidir.

 Yani tınlaşım durumlarını bulabilmek için (yorumdaki resimde bir tane bulunmuş!) önce işlemcileri analitik olarak uzatmak gerek, onun için de bölgelerini $G\subset \mathbb{C}$'ye genişletikten sonra ondan işlemci değerli gönderme (ing. operator valued function) yapıyoruz.


Tanım (işlemci değerli gönderme):  $z\in G, G$ açık küme için bir $T(z)$,  işlemcisine eğer  $\forall z\in G$ için $T(z)$; $X$ Banach uzayından $Y$ Banach uzayına $\text{böl}(T)\subseteq X$ bölgesi ve $H(T)\subseteq Y$ hedef kümesiyle doğrusal, sınırlı bir işlemci tanımlıyorsa;  $X$ Banach uzayındaki işlemci değerli gönderme denir.
 
Tanım (analitiklik): $T:G\rightarrow X$ i.d.göndermesi $\lambda\in G$'de analitiktir $:\Leftrightarrow$ $A_n\in X$ olan ve pozitif yakınsama yarıçaplı bir kuvvet serisi $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (z-\lambda)^n A_n$ vardır ve $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (z-\lambda)^n A=T(z)$.
Soru 5:  $T(\beta):=\begin{pmatrix} 1&\beta\\ \beta&-1\end{pmatrix},\beta\in \mathbb{C}$ işlemci değerli göndermesini analitikliğini inceleyip tınlaşım durumlarını bulabilirmisiniz?

Comments

Bunlarin (eskilerinin) cevaplarini da paylasacak misin, yoksa soru olaak kalacaklar mi?

---

Soruda vermiş olduğunuz işlemcilerin fizikteki uygulamalarından yada ne bileyim genel uygulamalarından ara ara bahseder misiniz? 

---

@Sercan: Benim tercihim, yanlış da olsa başkalarının birşeyler yazması, soru sorması ya da doğrudan makaleye bakması (bu arada soruların anlamlı olduğu gibi bir iddiam yok)...

@Handan: Dalga -bir başka bir adı da Møller- işlemcileri ya da oluşturdukları saçılma işlemcisi bize bir $\vert \psi >$ durumundan bir $\vert \psi ' >$ durumuna geçme olasılığını $w(\psi'\leftarrow \psi):=\vert<\psi'\vert S\vert\psi>\vert^2$ veriyor. Teorik geçiş olasılık şiddetleriyle saçılma deneylerinde (örn. CDF, ATLAS, D0, CMS, BELLE,BES-III, ZEUS gibi analizi örn. Particle Data Group tarafından yapılan (her parçacık fizikçisinde PDG'nin kitapçığından var) kesit alan $\sigma$ zirvelerinin açıklanabilmesini mümkün kılıyor. Aşağıdaki şekilde, pion parçacıklardan oluşan bir ışın süzmesinin  kinetik enerjisi değiştirilerek aynı proton hedefinden nasıl saçıldığı (hangi açıyla ve pion sayısında ne kadar düşüşle  vb.) ölçülüyor ve ortalamalardan kesit alan bulunuyor. Saçılma etkileşiminde yeni parçacıkların tınlaşım durumları meydana gelebiliyor, örn. burada delta baryonu...

---

Çok sağol. Teşekkür ederim. 

---

bilgiler çok iyi ,teşekkürler:)