Saçılma durumuna geçmeden önce bağlı durumlarla ilgili birkaç soru sormak istiyorum.
Bir kuantum sisteminin özellikleri o sistemin ayrılabilir, $b$ boyutlu $\mathbb{R}^b$ cismiyle tanımlı $\mathcal{H}$ Hilbert uzayında özeşlenik doğrusal bir işlemci olan ve enerji gözlenebiliri (burdakilerle 1,2 ilgili), diğer adıyla sistemin Hamiltonyeni $H$'de saklıdır. $H$ genellikle incelenilen sistemlerde sınırsız bir işlemcidir.
Tanım (yarı sınırlılık): Eğer $\forall f\in \text{böl}(H): <f,Hf>\geq 0$ geçerliyse, $H$ işlemcisine yarı sınırlı denir
Not: $\text{böl}(H)$ $\mathcal{H}$'de heryerde yoğundur.
Soru 1: Neden herzaman $H$ yarı sınırlıdır ya da öyle seçilebilir (sağlanıyorsa buna birinci tür durgunluk denir)?
İpucu: Bu soru taban enerjisi $E_{taban}:=\text{inf}\{\sigma_H\}=\text{inf}_{\psi\in \text{böl}(H)}\{\epsilon_\psi=\langle \psi,H\psi\rangle\}$'nin ($\sigma_H$, $H$ işlemcisinin izgesi; $\epsilon_\psi$ toplam enerji beklenti değeri fonksiyonali) sonlu bir değere mi yoksa eksi sonsuza mı eşit olduğu sorusuyla eşdeğerdir.
$H$'nin bölgesini seçmeden bunu gösterebilmek için beklenti değeri için $H$'nin karesel gösterimini kullanın $\epsilon_\psi=T_\psi+V_\psi=\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{\mathbb{R}^{b}}\vert \nabla \psi\vert^{2} dx +\int_{\mathbb{R}^{b}} V(x)\vert \psi\vert^{2} dx$
-eğer $\psi$'nin türevi neredeyse heryerde bir $L^{2}$-göndermesiyle eşleşmiyorsa kinetik enerji terimini $T_\psi$'yi sonsuz olarak alabiliriz ve biçimsel olarak bu gösterimde çelişkilerden kurtulmuş oluruz- ve potensiyal enerji terimini artı ve eksi parçalarına ayırıp, $K=\text{sabit}$ olmak üzere $\int_{\mathbb{R}^{b}}V_{-}(x)\vert\psi(x)\vert^{2}dx\leq T_\psi+K\|\psi\|^{2}$ eşitsizliğini kanıtlamaya çalışın (standart yoğunluk argümanıyla= sadece iyi halli göndermeler (genellikle $C_0^{\infty}$) için).
Tanım (bağlı durum): bkz. Soru 2.
Soru 2: Bir $\vert \psi\rangle$ durumunun bağlı olması genellikle $<\psi,H\psi><0$ bir tutulur. Birinci sorudan sonra size bu yanlış gelmiyor mu ve doğru tanım nedir?
İpucu sorusu: Bir işlemcinin izgesi nasıl sınıflandırılabilir?
------------------------------------------------------------------------------------------
Şimdi matematiksel ifadelerle betimlemek istediğimiz -en genel biçimiyle- saçılma sürecine gözatalım. İlk olarak birbirine doğru hareket eden sürece dahil olan parçacıklar var. Bütün süreçle karşılaştırıldığında çok kısa bir süre zarfında meydana gelen bir çarpışma söz konusu. Son olarak da parçacıklar başlangıçtaki yönlerinden farklı yönlerde çarpışmadan çıkıyor.
Buradaki önemli nokta uzak geçmiş ve ileri gelecekte parçacıkların hareketlerinin serbest olması. Yani $t\rightarrow \pm \infty$'de parçacıklar arasında etkileşim olmadığından
$H_\alpha=\sum_\nu \frac{1}{2m_\nu}p_\nu^{2}$ veya $H_\alpha=\sum_\nu \sqrt{m_\nu^{2}+p_\nu^{2}}$ (sadece göreceliliksel olmayan/olan kinetik enerji).
Kanal damgası/indisi denilen $\alpha$, saçılma sürecine katılan farklı tür ve sayıdaki parçacıkları ayırt etmeye yarıyor. Burdan itibaren sadece tek kanallı saçılma sürecini inceleyeceğiz ve serbest Hamiltonyenini $H_0$ ile gösteridiğimiz bu sistemi basit saçılma sistemi olarak adlandıracağız. Çarpışmadan önce de sonra da sürece katılan parçacıkların sayısı ya bir ya da iki olacak. $H$ ve $H_0$ sadece heryerde yoğun doğrusal çokkatlılar üzerinde tanımlılar (bkz.), onların yerine biz bütün $\mathcal{H}$'de tanımlı olan üniter (gösterin!) $U_t:=e^{-iH_0 t}$ ve $V_t:=e^{-iHt}$ işlemcilerini kullanacağız. Bunun nedeni bölgelerinin tanımını belirtmek zorunda kalmamamız ve birinin hedef kümesi diğerinin bölgesinin içinde yer aldığı için birbiriyle sorunsuz çarpılabilmeleri olacak.
Alışagelmiş saçılma kuramında başlangıç ve sonuç durumlar her zaman düzlemsel dalgalarla ifade edilir ve bunlar $H_0$'ın özdurumlarıdır. Bu makalede ise $H_0$'ın izgesi her zaman sürekli olduğundan altında yatan Hilbert uzayında özdurumlar yok olduğu göz ardı edilmemekte ve başlangıç ve sonuç durumları dalga paketleri yani $f\in\mathcal{H}$ aracılığıyla ifade edilmektedir. (Düzlemsel dalgalar $\mathcal{H}$'de bulunmadıkları gibi fiziksel olarak da bir soyutlamadırlar.)
Tanım (saçılma durumu): Bir sistemin saçılma sistemi olması için
\begin{equation}lim_{t\rightarrow\mp \infty} V_t^{*}U_t f=f_\pm\ \space \forall f\in\mathcal{H}\ \textbf{(1)} \end{equation} (Ereyleri bu bağlamda olan elemanlar kümelerine $R_\pm$ diyelim. O zaman bu iki küme birbirine eşit olmalıdır.)
ve \begin{equation}
R_+=R_-=:R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{(2)}
\end{equation} şartlarını sağlaması gerekir. Yukardaki şartı sağlayan herhangi bir $f$'ye de saçılma durumu denir.
Soru 3: $f_+$ ve $f_-$ ne anlama gelirler? Tanımdaki şartları kelimelerle açıklayabilirmisiniz?
Soru 4: Birinci şarttan örneğin $lim_{t\rightarrow -\infty}U_t^{*} V_t f_+=f$'nin var olduğunun çıkartılabileceğini gösterebilirmisiniz?
Soru 5: $g$ Heisenberg resmindeki bir durum olduğunu takdirde $g(t):=U_t^{*} V_t g$'yi anlamlandırın ve $g$'nin ayrıca bir saçılma durumu olduğu varsayılırsa; $g(t)$ durumunun $t\rightarrow\pm \infty$ için bir sabite yakınsadığını, yani $t\rightarrow\pm \infty$ için etkileşimin bir rol oynamadığını çıkartın (saçılmanın fiziksel anlamı zaten tam da bu!).