Processing math: 40%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
854 kez görüntülendi

Saçılma durumuna geçmeden önce bağlı durumlarla ilgili birkaç soru sormak istiyorum.

Bir kuantum sisteminin özellikleri o sistemin ayrılabilir, b boyutlu Rb cismiyle tanımlı H Hilbert uzayında özeşlenik doğrusal bir işlemci olan ve enerji gözlenebiliri (burdakilerle 1,2 ilgili), diğer adıyla sistemin Hamiltonyeni H'de saklıdır. H genellikle incelenilen sistemlerde sınırsız bir işlemcidir.

Tanım (yarı sınırlılık): Eğer fböl(H):<f,Hf>≥0 geçerliyse, H işlemcisine yarı sınırlı denir

Not: böl(H) H'de heryerde yoğundur.

Soru 1:
Neden herzaman H yarı sınırlıdır ya da öyle seçilebilir (sağlanıyorsa buna birinci tür durgunluk denir)?

İpucu: Bu soru taban enerjisi Etaban:=inf{σH}=infψböl(H){ϵψ=ψ,Hψ}'nin (σH, H işlemcisinin izgesi; ϵψ toplam enerji beklenti değeri fonksiyonali) sonlu bir değere mi yoksa eksi sonsuza mı eşit olduğu sorusuyla eşdeğerdir.
H'nin bölgesini seçmeden bunu gösterebilmek için beklenti değeri için H'nin karesel gösterimini kullanın ϵψ=Tψ+Vψ=22mRb|ψ|2dx+RbV(x)|ψ|2dx
-eğer ψ'nin türevi neredeyse heryerde bir L2-göndermesiyle eşleşmiyorsa kinetik enerji terimini Tψ'yi sonsuz olarak alabiliriz ve biçimsel olarak bu gösterimde çelişkilerden kurtulmuş oluruz- ve potensiyal enerji terimini artı ve eksi parçalarına ayırıp, K=sabit olmak üzere RbV(x)|ψ(x)|2dxTψ+K eşitsizliğini kanıtlamaya çalışın (standart yoğunluk argümanıyla= sadece iyi halli göndermeler (genellikle C_0^{\infty}) için).


Tanım (bağlı durum): bkz. Soru 2.


Soru 2: Bir \vert \psi\rangle durumunun bağlı olması genellikle <\psi,H\psi><0 bir tutulur. Birinci sorudan sonra size bu yanlış gelmiyor mu ve doğru tanım nedir?
İpucu sorusu: Bir işlemcinin izgesi nasıl sınıflandırılabilir?
------------------------------------------------------------------------------------------
Şimdi matematiksel ifadelerle betimlemek istediğimiz -en genel biçimiyle- saçılma sürecine gözatalım. İlk olarak birbirine doğru hareket eden sürece dahil olan parçacıklar var. Bütün süreçle karşılaştırıldığında çok kısa bir süre zarfında meydana gelen bir çarpışma söz konusu. Son olarak da parçacıklar başlangıçtaki yönlerinden farklı yönlerde çarpışmadan çıkıyor. 

Buradaki önemli nokta uzak geçmiş ve ileri gelecekte parçacıkların hareketlerinin serbest olması. Yani t\rightarrow \pm \infty'de parçacıklar arasında etkileşim olmadığından

H_\alpha=\sum_\nu \frac{1}{2m_\nu}p_\nu^{2} veya H_\alpha=\sum_\nu \sqrt{m_\nu^{2}+p_\nu^{2}} (sadece göreceliliksel olmayan/olan kinetik enerji).

Kanal damgası/indisi denilen \alpha, saçılma sürecine katılan farklı tür ve sayıdaki parçacıkları ayırt etmeye yarıyor. Burdan itibaren sadece tek kanallı saçılma sürecini inceleyeceğiz ve serbest Hamiltonyenini H_0 ile gösteridiğimiz bu sistemi basit saçılma sistemi olarak adlandıracağız. Çarpışmadan önce de sonra da sürece katılan parçacıkların sayısı ya bir ya da iki olacak. H ve H_0 sadece heryerde yoğun doğrusal çokkatlılar üzerinde tanımlılar (bkz.), onların yerine biz bütün \mathcal{H}'de tanımlı olan üniter (gösterin!) U_t:=e^{-iH_0 t} ve V_t:=e^{-iHt} işlemcilerini kullanacağız. Bunun nedeni bölgelerinin tanımını belirtmek zorunda kalmamamız ve birinin hedef kümesi diğerinin bölgesinin içinde yer aldığı için birbiriyle sorunsuz çarpılabilmeleri olacak.

Alışagelmiş saçılma kuramında başlangıç ve sonuç durumlar her zaman düzlemsel dalgalarla ifade edilir ve bunlar H_0'ın özdurumlarıdır. Bu makalede ise H_0'ın izgesi her zaman sürekli olduğundan altında yatan Hilbert uzayında özdurumlar yok olduğu göz ardı edilmemekte ve başlangıç ve sonuç durumları dalga paketleri yani f\in\mathcal{H} aracılığıyla ifade edilmektedir. (Düzlemsel dalgalar \mathcal{H}'de bulunmadıkları gibi fiziksel olarak da bir soyutlamadırlar.) 

Tanım (saçılma durumu): Bir sistemin saçılma sistemi olması için
\begin{equation}lim_{t\rightarrow\mp \infty} V_t^{*}U_t f=f_\pm\ \space \forall f\in\mathcal{H}\ \textbf{(1)} \end{equation} (Ereyleri bu bağlamda olan elemanlar kümelerine R_\pm diyelim. O zaman bu iki küme birbirine eşit olmalıdır.)

ve \begin{equation}  R_+=R_-=:R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{(2)} \end{equation} şartlarını sağlaması gerekir. Yukardaki şartı sağlayan herhangi bir f'ye de saçılma durumu denir.

Soru 3: f_+ ve f_- ne anlama gelirler? Tanımdaki şartları kelimelerle açıklayabilirmisiniz?

Soru 4: Birinci şarttan örneğin lim_{t\rightarrow -\infty}U_t^{*} V_t f_+=f'nin var olduğunun çıkartılabileceğini gösterebilirmisiniz?

Soru 5: g Heisenberg resmindeki bir durum olduğunu takdirde g(t):=U_t^{*} V_t g'yi anlamlandırın ve  g'nin ayrıca bir saçılma durumu olduğu varsayılırsa; g(t) durumunun t\rightarrow\pm \infty için bir sabite yakınsadığını, yani t\rightarrow\pm \infty için etkileşimin bir rol oynamadığını çıkartın (saçılmanın fiziksel anlamı zaten tam da bu!). 

Akademik Fizik kategorisinde (1.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 854 kez görüntülendi
20,295 soru
21,838 cevap
73,538 yorum
2,699,565 kullanıcı