'İkinci kuantumlama da neyin nesidir?' önbilgi, 'Kutudaki parçacığa ne oldu?' ise bu konuya giriş olarak görülebilir.
Periyodik sınır şartlarının geçerli olduğu L∈R kenarlı küp şeklindeki bir kutuya Ω∈R3 12 spinli sadece iki-cisim potensiyali V ile etkileşen m>0 kütleli fermiyonlar yerleştirelim. Kolaycana işlem yapabilelim diye V∈L1(R3) varsayalım. ak,ψ a(x) gibi tanımlı sadece x yerindeki bir parça yerine ortam şartlarına bağlı olarak k∈2πLZ devinirliğine ve ψ∈{↑,↓} spinine sahip bir parçayı yok ediyor (a∗k,ψ a(x) da aynı şekilde yaratma işlemcisi). Devinirlik temsilinde çok parçacık Hamiltonyen işlemcisini yazarsak, yani H:=∑ip2i2m+∑i<jV(xi−xj)'nin Fourier dönüşümünü alıp (tanımı burada) ikinci kuantumlarsak (Hamiltonyeni Γ(H) yerine kısaca yine H ile adlandırıyoruz):
H=∑k,σℏ2k22ma∗k,σak,σ+√2π2|Ω|∑k,p,q,σ,νˆV(k)a∗p−k,σa∗q+k,νaq,νap,σ
Ön alıştırma: Bunu biçimsel şekilde gösterin.
Tanım (BCS tipi durumlar): SD(X,Y):={A:X→Y|A sınırlı ve doğrusal} ve SD:(X)=SD(X,X) diye adlandıralım. O zaman sözde-serbest durumlar aşağıdaki şartları sağlayan doğrusal η:SD(F)→C göndermeleridir: ∀A∈SD(F):η(A,A)≥0, η(11)=1 ve fi ak,σ ya da a∗k,σ'ya eşit için η(f1f2f3f4)=η(f1f2)η(f3f4)−η(f1f3)η(f2f4)+η(f1f4)η(f2f3). BCS tipi durumlar sabit parçacık sayısı olmayan sözde-serbest durumlardır.
Sav 1: Spinler için öteleme ve (döndürmeler söz konusu olduğunda) SU(2) değişmezliğini varsayarsak, η sadece γ(k):=η(a∗k,↑ak,↑)=η(a∗k,↓ak,↓) ve ϕ(k)=η(a−k,↑ak,↓)=−η(a−k,↓,ak,↑) değerleriyle saptanılabilir. İpucu: Bunu görebilmek için diğer olasılıkları hesaplayın.
Sav 2: ∀p∈2πLZ: |ϕ(p)|2≤γ(p)(1−γ(p)). İpucu: Cauchy-Schwarz eşitsizliği ve doğal ters değişme bağıntıları.
Sav 3: η(H)=2∑kℏk22mγ(k)+√2π|Ω|∑k,pˆV(k)ˉϕ(k−p)ϕ(p)+2√2π|Ω|ˆV(0)(∑pγ(p))2−√2π|Ω|∑k,pˆV(k)γ(p−k)γ(p)
Not: Sondan ikinci terim parçacık sayısının karesi çarpı bir sabit, sonuncu terim ise de değiş tokuş terimleridir. Bu iki terimi de kısa menzilli etkileşim potensiyalleri için s-dalga saçılmaları önplanda olduğundan ihmal edebiliriz. ['Neden önplanda?'nın cevabı ve aynı zamanda elastik saçılma kuramının özeti: her iki atomun çarpışmaya/dan giren/çıkan dalga fonksiyonlarını birlikte küresel harmonik açılımını yapıyoruz ve bu terimleri -izotropik diye yaklaştırdığımız Hamiltonyenin, yörüngesel devinirlik işlemcisiyle değişmesi sayesinde- sadece iki tane sayı l,m ile ilişkilendirebiliyoruz. Bunlar çarpışan iki atomun birbiri etrafındaki yörüngesel devinirliğini (Schrödinger denkleminden çıkan elektronun açısal devinirliği değil) gösteriyor. Bu yörüngesel kinetik enerji potensiyal enerjiye ayreten ekleniyor: Vetkisel(r)=V(r)+ℏ2l(l+1)2κr2 (κ indirgenmiş kütle) ve düşük sıcaklıklarda/enerjilerde l≠0 atomların V(r)∼1r6'yi hissedecek kadar yakınlaşmalarına engel oluyor. Anlayacağınız bu çerçevede bunlar için zaten yoğuşma mümkün olmuyor ve biz sadece s ile gösterilen l=0 atomlarını göz önüne alıyoruz.]
Ek soru: 'Neden ihmal edebiliriz'in cevabı nedir? (buraya bakabilirsiniz)
Tanım (von Neumann entropisi): Entropi bir sistemdeki belirsizlik hakkında genel bilgi verir. Biz burada S(η):=−izF(ηlnη) olarak tanımlanan von Neumann entropisini inceleyeceğiz.
Sav 4: Υ(p):=(γ(p) ¯ϕ(p) ϕ(p) (1−γ(p))) olmak üzere S(η)=−2∑pİzC2(Υ(p)lnΥ(p))
Sav (termodinamik basınç): Sabit bir sıcaklıktaki T=1β≥0 ve μ kimyasal potensiyalli bir η durumunun termodinamik basıncı P(η):=1|Ω|[TS(η)−η(H−μN)] (N:=∑σ,ka∗k,σak,σ sayı işlemcisi) ise, onun η(H)=2∑kℏk22mγ(k)+√2π|Ω|∑k,pˆV(k)ˉϕ(k−p)ϕ(p) için sonsuz hacim sınırını Ω→R3 aldığımızda −22π∫R3(TizC2Υ(p)lnΥ(p)+(p22m−μ)γ(p))dp−12π∫R3|α(x)|2V(x)dx'yi buluruz, α(x):=1√2π∫ϕ(p)eixpℏdp
V için 2V yazalım ve baştaki sabitleri gözardı edersek
Tanım (BCS fonksiyonali): D, γ∈L1(R3,(1+p2)dp),0≤γ(p)≤1 ve α∈H1(R3,dx), |ˆα(p)|2≤γ(p)(1−γ(p)) şartlarını sağlayan (γ,α) gönderme ikililerinin kümesi; V∈L3/2(R3,dx) gerçel değerli ve μ∈R olsun. O zaman T:=1β≥0 ve (γ,α)∈D için BCS enerji fonksiyonali Fβ(γ,α):=∫(p22mγ(p)dp+∫|α(x)|2V(x)dx−1βS(γ,α) olarak tanımlanır. Burada - s(p), s(1−s)=γ(1−γ)−|ˆα|2 ile belirlenmek üzere- S(γ,α)=−∫[s(p)lns(p)+(1−s(p))ln(1−s(p))]dp'dir.
devamı: Bir aşırı soğuk fermiyon gazı ne zaman süperakışkandır?