Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
521 kez görüntülendi

 'İkinci kuantumlama da neyin nesidir?' önbilgi, 'Kutudaki parçacığa ne oldu?' ise bu konuya giriş olarak görülebilir.

Periyodik sınır şartlarının geçerli olduğu LR kenarlı küp şeklindeki bir kutuya ΩR3 12 spinli sadece iki-cisim potensiyali V ile etkileşen m>0 kütleli fermiyonlar yerleştirelim.  Kolaycana işlem yapabilelim diye VL1(R3) varsayalım. ak,ψ a(x)  gibi tanımlı sadece x yerindeki bir parça yerine ortam şartlarına bağlı olarak k2πLZ devinirliğine ve ψ{,} spinine sahip bir parçayı yok ediyor (ak,ψ a(x) da aynı şekilde yaratma işlemcisi). Devinirlik temsilinde çok parçacık Hamiltonyen işlemcisini yazarsak, yani H:=ip2i2m+i<jV(xixj)'nin Fourier dönüşümünü alıp (tanımı burada) ikinci kuantumlarsak (Hamiltonyeni Γ(H) yerine kısaca yine H ile adlandırıyoruz):
H=k,σ2k22mak,σak,σ+2π2|Ω|k,p,q,σ,νˆV(k)apk,σaq+k,νaq,νap,σ

Ön alıştırma: Bunu biçimsel şekilde gösterin.

Tanım (BCS tipi durumlar):
SD(X,Y):={A:XY|A sınırlı ve doğrusal} ve SD:(X)=SD(X,X) diye adlandıralım. O zaman sözde-serbest durumlar aşağıdaki şartları sağlayan doğrusal η:SD(F)C  göndermeleridir: ASD(F):η(A,A)0, η(11)=1 ve fi ak,σ ya da ak,σ'ya eşit için η(f1f2f3f4)=η(f1f2)η(f3f4)η(f1f3)η(f2f4)+η(f1f4)η(f2f3). BCS tipi durumlar sabit parçacık sayısı olmayan sözde-serbest durumlardır.

Sav 1: Spinler için öteleme ve (döndürmeler söz konusu olduğunda) SU(2) değişmezliğini varsayarsak, η  sadece γ(k):=η(ak,ak,)=η(ak,ak,) ve ϕ(k)=η(ak,ak,)=η(ak,,ak,) değerleriyle saptanılabilir. İpucu: Bunu görebilmek için diğer olasılıkları hesaplayın.

Sav 2: p2πLZ: |ϕ(p)|2γ(p)(1γ(p)). İpucu: Cauchy-Schwarz eşitsizliği ve doğal ters değişme bağıntıları.

Sav 3: η(H)=2kk22mγ(k)+2π|Ω|k,pˆV(k)ˉϕ(kp)ϕ(p)+22π|Ω|ˆV(0)(pγ(p))22π|Ω|k,pˆV(k)γ(pk)γ(p)

Not: Sondan ikinci terim parçacık sayısının karesi çarpı bir sabit, sonuncu terim ise de değiş tokuş terimleridir. Bu iki terimi de kısa menzilli etkileşim potensiyalleri için s-dalga saçılmaları önplanda olduğundan ihmal edebiliriz. ['Neden önplanda?'nın cevabı ve aynı zamanda elastik saçılma kuramının özeti: her iki atomun çarpışmaya/dan giren/çıkan dalga fonksiyonlarını birlikte küresel harmonik açılımını yapıyoruz ve bu terimleri -izotropik diye yaklaştırdığımız Hamiltonyenin, yörüngesel devinirlik işlemcisiyle değişmesi sayesinde- sadece iki tane sayı l,m ile ilişkilendirebiliyoruz. Bunlar çarpışan iki atomun  birbiri etrafındaki yörüngesel devinirliğini (Schrödinger denkleminden çıkan elektronun açısal devinirliği değil) gösteriyor. Bu yörüngesel kinetik enerji  potensiyal enerjiye ayreten ekleniyor: Vetkisel(r)=V(r)+2l(l+1)2κr2 (κ indirgenmiş kütle) ve düşük sıcaklıklarda/enerjilerde l0 atomların V(r)1r6'yi hissedecek kadar yakınlaşmalarına engel oluyor. Anlayacağınız bu çerçevede bunlar için zaten yoğuşma mümkün olmuyor ve biz sadece s ile gösterilen l=0 atomlarını göz önüne alıyoruz.]
Ek soru: 'Neden ihmal edebiliriz'in cevabı nedir? (buraya bakabilirsiniz)

Tanım (von Neumann entropisi): Entropi bir sistemdeki belirsizlik hakkında genel bilgi verir. Biz burada S(η):=izF(ηlnη) olarak tanımlanan von Neumann entropisini inceleyeceğiz.

Sav 4: Υ(p):=(γ(p)     ¯ϕ(p)  ϕ(p) (1γ(p))) olmak üzere S(η)=2pİzC2(Υ(p)lnΥ(p))

Sav (termodinamik basınç):
Sabit bir sıcaklıktaki T=1β0 ve μ kimyasal potensiyalli bir η durumunun termodinamik basıncı P(η):=1|Ω|[TS(η)η(HμN)] (N:=σ,kak,σak,σ sayı işlemcisi) ise, onun η(H)=2kk22mγ(k)+2π|Ω|k,pˆV(k)ˉϕ(kp)ϕ(p) için sonsuz hacim sınırını ΩR3 aldığımızda 22πR3(TizC2Υ(p)lnΥ(p)+(p22mμ)γ(p))dp12πR3|α(x)|2V(x)dx'yi buluruz, α(x):=12πϕ(p)eixpdp
V için 2V yazalım ve baştaki sabitleri gözardı edersek
Tanım (BCS fonksiyonali): D, γL1(R3,(1+p2)dp),0γ(p)1 ve αH1(R3,dx), |ˆα(p)|2γ(p)(1γ(p)) şartlarını sağlayan (γ,α) gönderme ikililerinin kümesi; VL3/2(R3,dx) gerçel değerli ve μR olsun. O zaman T:=1β0 ve (γ,α)D için BCS enerji fonksiyonali Fβ(γ,α):=(p22mγ(p)dp+|α(x)|2V(x)dx1βS(γ,α) olarak tanımlanır. Burada -  s(p), s(1s)=γ(1γ)|ˆα|2 ile belirlenmek üzere- S(γ,α)=[s(p)lns(p)+(1s(p))ln(1s(p))]dp'dir. 

devamı: Bir aşırı soğuk fermiyon gazı ne zaman süperakışkandır?

Akademik Fizik kategorisinde (1.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 521 kez görüntülendi
20,295 soru
21,836 cevap
73,540 yorum
2,697,170 kullanıcı