Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
231 kez görüntülendi

Başlıktaki ve aşağıdakinin dışında hep teorem ve savların kanıtını soruyorum.

Tanım (Fock uzayı): $\mathcal{H}$ bir Hilbert uzayı (farklı ise yerine $\mathcal{H}_\nu$) ve $H$ bir tek parçacık Hamilton işlemcisi olsun. Ayırt edilemez fermiyonlar $\psi\in\mathcal{H}$ için  $\mathcal{H}^{(N)}:=\bigwedge_{\nu=0}^{N}\mathcal{H}$ (ters simetrik), ayırt edilemez bozonlar için ise $\mathcal{H}^{(N)}:=\frac{1}{\sqrt{N!}}\displaystyle\sum_{P\in S_N}P (\bigoplus_{\nu=0}^{\infty}\mathcal{H} )$ -$S_N$ simetrik grup- (simetrik) ve $\mathcal{H}^{(0)}:=\mathcal{C}$ olmak üzere Hilbert uzayı $\mathcal{F}:=\bigoplus_{N=0}^{\infty}\mathcal{H}^{(N)}$ ve iç çarpım $\langle\psi,\psi\rangle:=\displaystyle\sum_{N=0}^{\infty}\langle\psi^{(N)},\psi^{(N)}\rangle$'dır ve ona (fermiyon/bozon) Fock uzayı adı verilir. Buradan itibaren sadece fermiyonları inceleyelim.

Sav:
$\langle\psi,\psi\rangle$ üniterdir ve bundan $\mathcal{F}$'nin iç çarpımını sonlu kılan dizilerin Hilbert uzayı olduğu çıkar.

Tanım: $f\in\mathcal{H}$, $e_1,e_2,e_3,...$ $\mathcal{H}$'nin ortonormal tabanını oluştursun. $e_{1}\wedge ...\wedge e_{N}:=\sum_{\pi\in\gamma_N}(sgn\pi)e_{\pi_1}\otimes...\otimes e_{\pi_N}$.

Sav: $e_{1}\wedge ...\wedge e_{N}\in \mathcal{H}^{(N)}$ $\mathcal{H}^{N}$'nin bir tabanıdır.

$a^{*}(f)e_{\nu_1}\wedge ...\wedge e_{\nu_N}:=f\wedge e_{\nu_1}\wedge ...\wedge e_{\nu_N}+...$ (...= doğrusal olarak bütün doğrusal bileşimlere tamamla).

Soru: Doğrusal bir işlemciyi bir Hilbert uzayı üzerinde tanımlamak için onu uzayın tabanında tanımlamak yeterli midir?
 
Tanım (Yaratma ve yoketme işlemcileri): $a^{*}(e_l)\frac{1}{\sqrt{N!}}e_{1}\wedge ...\wedge e_{N}:=\frac{1}{\sqrt{(N+1)!}}e_{1}\wedge ...\wedge e_{N}$. $\psi\in\mathcal{F}$,  $q\in\mathbb{N}$ spin durumu sayısı olsun ve Hilbert uzayını $\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R}^{N})\otimes\mathbb{C}^{q}$ olarak seçelim. Yeri ve spini birlikte $x:=(\xi,\sigma)$ olarak yazalım. O zaman yoketme işlemcisi $(a(f)\psi)^{(N)}(x_1,...x_N):=\frac{1}{\sqrt{N}}\displaystyle\sum_{j=1}^{N}(-1)^{j+1}f(x_j)\psi^{(N-1)}(x_1,...x_{j-1},x_{j+1},...,x_N)$, yaratma işlemcisi de $(a^*(f)\psi)^{(N)}(x_1,...x_N):=\frac{1}{\sqrt{N+1}}\displaystyle\sum_{\sigma=1}^{q}\int_{\mathbb{R}^{N}} dx \bar{f(x)} \psi^{(N+1)}(x,x_1,...,x_N)$'dir.

Not: $a^{*}$ $f$'ye doğrusal bağımlıdır ama $a$ değildir.

Sav(Doğal ters değişme bağıntıları,ingl. CAR ): $\{a(f_1),a(f_2)\}=\{a^{*}(f_1),a^{*}(f_2)\}=0$, $\{a(f_1),a^{*}(f_2)\}=\langle f_1,f_2\rangle$
Not: Yere bağlı yoketme işlemcisi $a_j:=a(e_j)$ ile $a(x)=\sum_j a(e_j \bar{e_j}(x))=\sum_j e_i(x)a_j$'dır. Ayrıca fizik kitaplarında geçen $\{a_j,a_k\}=\delta_{jk}$'nın anlamı da buradan çıkıyor.

Teorem:
$a^{*}(f)$ ve $a(f)$ birbirinin eşleniğidir.
Not: Bozonlar için bu doğru değildir.

Tanım (simetrik işlemcinin i.k.): A işlemcisi $\mathcal{H}$ üzerinde simetrik olsun. $A$'nın ikinci kuantumlaması $d\Gamma(A):\text{böl}(d\Gamma)\subset \mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F},A\mapsto A\otimes  1\!\!1\otimes ...\otimes 1\!\!1+...+ 1\!\!1\otimes ...\otimes 1\!\!1\otimes A$'dır. $N:=d\Gamma( 1\!\!1)$'ye sayı işlemcisi denir.
Soru: $d\Gamma(A)$'nın özellikleri nelerdir?
Tanım (üniter işlemcinin i.k.): $U$ $\mathcal{H}$'de üniter bir işlemci olsun. $U$'nun ikinci kuantumlaması $\Gamma(U)$ bütün $\mathcal{H}^{N}$'leri $\mathcal{H}^{N}$'de değişmez bırakan işlemcidir $\bigotimes^{N}U$.

Sav: Eğer $A$ özeşlenik ise, $e^{itA}$ üniter grubunu ikinci kuantumlaması $\Gamma(e^{itA})=e^{itd\Gamma(A)}$'dır.

Not: Fizikteki kullanımı $A_{ij}:=\langle e_i,A e_j\rangle$, $d\Gamma(A)=\sum_{i,j}A_{i,j}a_i^{*}a_j$'a denk geliyor.

Sav (İki cisim işlemcisi): $\mathcal{H}^{(N)}$ üzerindeki $H:=\displaystyle\sum_{n=1}^N \left( -\triangle -\frac{Z}{\vert x\vert}\right)+\displaystyle\sum_{1\leq n< m\leq N} \frac{1}{\vert x_m-x_n\vert}$ Hamiltonyeninin ikinci kuantumlanmış hali $W_{i,j,k,l}:=\langle e_i\otimes e_j,\frac{1}{\vert\cdot\vert}e_k\otimes e_l \rangle$ ile   $\Gamma(H):=\displaystyle\sum_{i,j}(e_i(-\triangle-\frac{Z}{\vert{x}\vert})e_j)a_i^*a_j+\displaystyle\sum_{i,j,k,l}a_i^*a_j^* a_l a_k W_{i,j,k,l}$'dir. Ayrıca $H$ $\exists \lambda\in\mathbb{R}:H+\lambda d\Gamma(1)\geq 0$ özelliği (bunu da gösterin) sayesinde özeşleniktir.

Akademik Fizik kategorisinde (1.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 231 kez görüntülendi

ikinci kuvantumlanmanın ingilizce karşılığı nedir?

Second quantization.

18,133 soru
20,689 cevap
66,577 yorum
18,804 kullanıcı