Başlıktaki ve aşağıdakinin dışında hep teorem ve savların kanıtını soruyorum.
Tanım (Fock uzayı): H bir Hilbert uzayı (farklı ise yerine Hν) ve H bir tek parçacık Hamilton işlemcisi olsun. Ayırt edilemez fermiyonlar ψ∈H için H(N):=⋀Nν=0H (ters simetrik), ayırt edilemez bozonlar için ise H(N):=1√N!∑P∈SNP(∞⨁ν=0H) -SN simetrik grup- (simetrik) ve H(0):=C olmak üzere Hilbert uzayı F:=⨁∞N=0H(N) ve iç çarpım ⟨ψ,ψ⟩:=∞∑N=0⟨ψ(N),ψ(N)⟩'dır ve ona (fermiyon/bozon) Fock uzayı adı verilir. Buradan itibaren sadece fermiyonları inceleyelim.
Sav: ⟨ψ,ψ⟩ üniterdir ve bundan F'nin iç çarpımını sonlu kılan dizilerin Hilbert uzayı olduğu çıkar.
Tanım: f∈H, e1,e2,e3,... H'nin ortonormal tabanını oluştursun. e1∧...∧eN:=∑π∈γN(sgnπ)eπ1⊗...⊗eπN.
Sav: e1∧...∧eN∈H(N) HN'nin bir tabanıdır.
a∗(f)eν1∧...∧eνN:=f∧eν1∧...∧eνN+... (...= doğrusal olarak bütün doğrusal bileşimlere tamamla).
Soru: Doğrusal bir işlemciyi bir Hilbert uzayı üzerinde tanımlamak için onu uzayın tabanında tanımlamak yeterli midir?
Tanım (Yaratma ve yoketme işlemcileri): a∗(el)1√N!e1∧...∧eN:=1√(N+1)!e1∧...∧eN. ψ∈F, q∈N spin durumu sayısı olsun ve Hilbert uzayını H=L2(RN)⊗Cq olarak seçelim. Yeri ve spini birlikte x:=(ξ,σ) olarak yazalım. O zaman yoketme işlemcisi (a(f)ψ)(N)(x1,...xN):=1√NN∑j=1(−1)j+1f(xj)ψ(N−1)(x1,...xj−1,xj+1,...,xN), yaratma işlemcisi de (a∗(f)ψ)(N)(x1,...xN):=1√N+1q∑σ=1∫RNdx¯f(x)ψ(N+1)(x,x1,...,xN)'dir.
Not: a∗ f'ye doğrusal bağımlıdır ama a değildir.
Sav(Doğal ters değişme bağıntıları,ingl. CAR ): {a(f1),a(f2)}={a∗(f1),a∗(f2)}=0, {a(f1),a∗(f2)}=⟨f1,f2⟩
Not: Yere bağlı yoketme işlemcisi aj:=a(ej) ile a(x)=∑ja(ej¯ej(x))=∑jei(x)aj'dır. Ayrıca fizik kitaplarında geçen {aj,ak}=δjk'nın anlamı da buradan çıkıyor.
Teorem: a∗(f) ve a(f) birbirinin eşleniğidir.
Not: Bozonlar için bu doğru değildir.
Tanım (simetrik işlemcinin i.k.): A işlemcisi H üzerinde simetrik olsun. A'nın ikinci kuantumlaması dΓ(A):böl(dΓ)⊂F→F,A↦A⊗11⊗...⊗11+...+11⊗...⊗11⊗A'dır. N:=dΓ(11)'ye sayı işlemcisi denir.
Soru: dΓ(A)'nın özellikleri nelerdir?
Tanım (üniter işlemcinin i.k.): U H'de üniter bir işlemci olsun. U'nun ikinci kuantumlaması Γ(U) bütün HN'leri HN'de değişmez bırakan işlemcidir ⨂NU.
Sav: Eğer A özeşlenik ise, eitA üniter grubunu ikinci kuantumlaması Γ(eitA)=eitdΓ(A)'dır.
Not: Fizikteki kullanımı Aij:=⟨ei,Aej⟩, dΓ(A)=∑i,jAi,ja∗iaj'a denk geliyor.
Sav (İki cisim işlemcisi): H(N) üzerindeki H:=N∑n=1(−△−Z|x|)+∑1≤n<m≤N1|xm−xn| Hamiltonyeninin ikinci kuantumlanmış hali Wi,j,k,l:=⟨ei⊗ej,1|⋅|ek⊗el⟩ ile Γ(H):=∑i,j(ei(−△−Z|x|)ej)a∗iaj+∑i,j,k,la∗ia∗jalakWi,j,k,l'dir. Ayrıca H ∃λ∈R:H+λdΓ(1)≥0 özelliği (bunu da gösterin) sayesinde özeşleniktir.