Başı:Göreceliliksel k.e.d. parçacık-alan Hamiltonyeninin özeşlenikliğini gösterebilmek
Sav: f∈L2(R3) ,
fj:=⟨fe(1)j,fe(2)j⟩∈Hph,
→k∈M0 ve
j,l=1,2,3 için
∑2r=1e(j)j(→k)e(j)l(→k)'i incelersek
‖. Buna göre doğal olarak tanımlanan
\vert\vert\vert f\vert\vert\vert:=\displaystyle\sum_{j=1}^3\vert\vert f_j\vert\vert bir normdur.
Sav: Koşul 1'in sağlandığını kabul edelim. O zaman \text{böl}(H_{ış}^{1/2})\subset\text{böl}(H_{etk,\tau}(g)) ve \forall\psi\in \text{böl}(H_{ış}^{1/2}) ve \epsilon>0 için \vert\vert H_{etk,\tau}(g)\psi\vert\vert\leq\sqrt{2(1+\epsilon)}\vert q\vert\ \vert\vert\vert\frac{g}{\sqrt{\omega}}\vert\vert\vert \Vert H_{ış}^{1/2}\psi\Vert+\frac{\vert q\vert}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{1}{\epsilon}} \vert\vert\vert g\vert\vert\vert \ \Vert\psi\Vert'dir.
İpucu 1:
\forall F\in \mathcal{H}_{ft} ve
\psi\in\text{böl}(H_{ış}^{1/2}) için
\psi\in\text{böl}(a(F))\cap \text{böl}(a(F)^{*}) ve
\Vert a(F)\psi\Vert\leq\Vert\frac{F}{\sqrt{\omega}}\Vert\ \Vert H_{\text{ış}}^{1/2}\psi\Vert ve
\Vert a(F)^*\psi\Vert\leq\Vert\frac{F}{\sqrt{\omega}}\Vert\ \Vert H_{\text{ış}}^{1/2}\psi\Vert+\Vert F\Vert \Vert\psi\Vert İpucu 2:
a,b\geq0,\epsilon>0 için
(a+b)^2\leq(1+\epsilon)a^2+\left(1+\frac{1}{\epsilon}\right)b^2.
Ek alıştırma: İpuçlarını gösterin.
Sav(simetri): \tau\in\mathbb{R}, koşul 1 ve 2 geçerli olsun. O zaman H_{\tau}(V,g) \text{böl}(H_{\tau}(V,g)):=\text{böl}(H_D)\cap\text{böl}(V)\cap\text{böl}(H_{ış}) ile simetrik bir işlemcidir.
Soru: Bunu gösterebilirmisiniz?
Tanım: Bir Hilbert uzayındaki ters doğrusal, norm koruyucu ve C^2=1\!\!1 olan C göndermesine eşlenti (ing. conjugation) denir.
Sav 1.1: C \mathcal{H} üzerinde bir eşlenti ve S de aynı Hilbert uzayında CS\subset CS'yi sağlayan doğrusal bir işlemci olsun. O zaman CS=SC'dir.
Sav: Eğer P \mathcal{H}_D üzerinde eşlik dönüşümüyse -yani f\in\mathcal{H}_D- için (Pf)(\vec{x}):=f(-\vec{x}), \mathcal{H}_D üzerinde T_D:=PU_C C_D ters üniter bir işlemci tanımlar ve bu bir eşlentidir.
Sav 1.2: T_D\vec{\alpha}\cdot(-i\vec{\triangledown})=\vec{\alpha}\cdot(-i\vec{\triangledown})T_D.
Sav 1.3: C_{ft} \mathcal{H}_{ft} üzerindeki karmaşık eşlenti C_{ft}(F_1,F_2):=(\bar{F_1},\bar{F_2})\in\mathcal{H}_{ft},\ F_r\in L^2(\mathbb{R}^3),\ r=1,2 ve j_{\mathbb{C}} de \mathbb{C} üzerindeki eşlenti olsun. O zaman J_{ış}:=j_{\mathbb{C}}\oplus(\bigoplus_{n=1}^\infty \bigotimes^n C_{ft}) \mathcal{F}_{ış} üzerindeki bir eşleniktir.
Sav 1.4: J_{ış}H_{ış}=H_{ış}J_{ış} ve \forall F\in\mathcal{H}_{ft}:\ J_{ış}\Psi_S(C_{ft}F)=\Psi_S(F)J_{ış}.
İpucu: İlk eşitlik için \omega\in\mathbb{R}. İkincisi için eşitliği önce sonlu parçacık vektörleri altuzayı \mathcal{F}_{ış,0}:=\{\psi=\{\psi^{(n)}\}_{n=0}^\infty \in\mathcal{F}_{ış}\vert \text{sonlu sayılılar dışındaki bütün n'ler için }\psi^{(n)}=0\}'da gösterin, bunu sınır alan \psi_S(F)'e çevirin ve sav 1.1'i uygulayın.
Sonunda teoremimizi kanıtlayacak kadar bilgi toplayabildik:
Teorem: \tau\in\mathbb{R}, g gerçel değerli olduğu, 1. ve 2. koşullar sağlandığı takdirde modelin Hamiltonyen işlemcisi H_{\tau}(V,g)'nin bir özeşlenik uzantısı vardır. İpucu: \mathcal{F} üzerinde J:=T_D\otimes J_{ış}'ye bakın. von Neumann teoremi ve ondan sonra çok önemli başka bir teoremi kullanın.