Çevresi verilen ikizkenar üçgenin maksimum alanı

Question

Çevresi  p  cm olarak verilen

ikizkenar bir üçgeninin maksimum alanı A ise

 $ A <  \frac {p^2} { 12 \sqrt 3 } $ 

olduğunu gösteriniz.

Yol gösterme: 

Üçgenin Heron alan formülü

A=$ \sqrt{(u(u-a)(u-b)(u-c)}$

ve u=(a+b+c)/2  ifadesini kullanın.

a,b,c üçgenin kenar uzunluklarıdır.

Comments

Euclid ‘e göre, üç kenarlı şekillerden, 

1) üç kenarı eşit olan üçgen eşkenar üçgendir.

2) yalnız iki kenarı eşit olan üçgen ikizkenardır.

3) üç kenarı eşit olmayan üçgen çeşitkenar üçgendir.

Bu durumda sorudaki eşitsizlik geçerlidir.

Ama günümüz matematikçileri,

 "En az iki kenarı eşit olan üçgen ikizkenar üçgendir." demektedir.

Bu durumda sorudaki eşitsizlik , eşitlik olur.

---

Ben, bu konuda, Euclid e değil de, günümüz matematikçilerine katılıyorum.

Answer 1

Çevresi sabit üçgenlerin arasında en büyüğü eşkenar üçgendir (standart yöntemlerle gösterilir) ve alanı da $\frac{p^2}{12\sqrt3}$ dür. Eşitsizlik değil eşitlik olur.

Comments

Ben bu örneklerde  bir eşitlik göremedim.

Çevre Kenarlar  Max Alan $ p^2/(12 \sqrt3)$

12 [2, 5, 5] 4.898979485566356 6.928203230275509

13 [5, 4, 4] 7.806247497997997 8.13101629108723

14 [4, 5, 5] 9.16515138991168 9.430054396763888

15 [3, 6, 6] 8.714212528966687 10.825317547305483

16 [6, 5, 5] 12.0                          12.316805742712017

17 [5, 6, 6] 13.635890143294644 13.904518982983486

18 [4, 7, 7] 13.416407864998739 15.588457268119896

19 [7, 6, 6] 17.056890103415686 17.36862059812124

20 [6, 7, 7] 18.973665961010276 19.245008972987524

---

Üç kenarı eşit alırsak tam o sayı çıkacak $\frac12\frac p3\frac p3\frac{\sqrt3}2=\frac{p^2}{12\sqrt3}$

---

Örneklerde hep tam parçalanma alınmış. Sonuçta $p/3$'er parçalanma alınabilir. Ayrıca 12 için 2 5 5 neden seçildi? Başka seçenekler de var, 4 4 4 gibi. Diğerleri için de.

---

p=18  için p/3'er parçalanma alınırsa 

üçgen,  kenar  uzunlukları   altışar cm  olan bir eşkenar üçgen olur:)

Verilen örnekler, Euclid'in ikizkenar üçgen tanımına uygundur. 

Answer 2

Kenar uzunlukları a,a,b olsun çevre p=2a+b olur

u=p/2

u-a=p/2-a

     =(p-2a)/2=b/2

u-b=p/2-b

     =(p-2b)/2

(p/2*b/2*b/2*(p-2b)/2) ün maksimum değeri p sabit olduğundan b ye göre türev alınır (önce düzenleyelim) ve sıfıra eşitlenirse

pb^2.(p-2b)/16 ifadesinin b'ye göre türevi

2p^2*b-6pb^2=0

b=p/3 bulunur

 heron denkleminde yerine yazarsak istenen sonuç bulunur.

Bu durumda üçgen eşkenar oluyor ancak ikizkenar üçgen denildiği zaman bazı kaynaklar bunun eşkenar üçgenleri kapsamadığı görüşünde eşitlik bu yüzden alınmamış sanırım.