Düzgün Süreklilik-I

Question

$f\left( x\right) =\sqrt {x}$ kuralı ile verilen $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonunun düzgün sürekli olduğunu nasıl gösterebiliriz?

Comments

oldugunu nasil gosteririz?

---

Fonksiyonun tanım kümesini $[1,\infty)$ alırsak fonksiyon düzgün sürekli olduğunu kolayca gösterebiliyoruz. Tanım kümesi $[0,\infty)$ olduğunda düzgün sürekli oluyor mu?

---

Evet haklisin. Tersinde de $x=10^{-2}$ ve $x=10^{-4}$u  alirsak eger.

---

köklü fonksiyonlar tanım kümesindeki her sayı için sürekliler,

---

Hocam duzgun sureklilik tanimi farkli. 

---

hocam kastedilen şey uniformly continous deilmi?

---

evet hocam oyle.

Answer 1

Verilen bir $\epsilon$ icin $\delta=\epsilon^2$ secersek: Eger $|x-y| < \delta$ olursa
 
$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|^2 \leq  |\sqrt{x}-\sqrt{y}|.|\sqrt{x}+\sqrt{y}|=|x-y| < \epsilon^2$ yani $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| < \epsilon$ olur.

O halde $f(x)=\sqrt{x}$ fonksiyonu $[0,\infty)$ araliginda duzgun sureklidir.

Comments

ikinci bir cozum olarak, yorumdaki gibi $[1,\infty)$deki duzgun sureklilige. Tikiz $[0,a=1]$deki duzgun surekliligi ekleyebiliriz. 

Answer 2

$f [1,\infty] lipschitz $ ve [0,1] de kompak set o yüzden düzgün sürekli