Question

$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{3n}}{(3n)!}$$ serisinin toplamını bulunuz.

Answer 1

İlham Aliyev ile birlikte düşündüğümüz bir çözüm şöyle:
(EDIT: DoganDonmez) $e^x$ in McLaurin serisini 3 seriye bölelim. Burada
$$\begin{eqnarray} y=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !} \end{eqnarray}$$
dersek $e^x$ in McLaurin serisi
$$\begin{eqnarray} y^{^{\prime \prime }}+y^{^{\prime }}+y=e^{x} \end{eqnarray}$$
sabit katsayılı , homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemine dönüşür. Bu denklemin homojen kısmının çözümü

$\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{2}x}\left( c{1}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +c{2}\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right) \end{eqnarray}$

($c1,c2$ keyfi sabitler), ve bir özel çözümü;

$\begin{eqnarray} \frac{1}{3}e^{x} \end{eqnarray}$
dir. Başlangıç koşullarının $y(0)=0$ ve $y'(0)=0$ olduğu kolayca görülür. Buradan sabitlerin belirlenmesiyle
$$\begin{eqnarray} y=f\left( x\right) =\frac{1}{3}e^{x}-e^{-\frac{1}{2}x}\left( \frac{1}{3}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left( \frac{\sqrt{ 3}}{2}x\right) \right) \end{eqnarray}$$ elde edilir.

Comments

Yazı dili anlaşılmıyor, rica etsem yönetimden arkadaşlar ilgilenebilirler mi? Teşekkür ederim...

---

Ayhan Dil in cevabı:

İlham Aliyev ile birlikte düşündüğümüz bir çözüm şöyle:

$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=$ $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{ \left( 3n\right) !}$ $+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{\left( 3n+1\right) !} +$ $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !}$

eşitliğinden yola çıkalım. Burada
$$\begin{eqnarray*} y=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !} \end{eqnarray*}$$
dersek yukarıdaki eşitlik
$$\begin{eqnarray*} y^{^{\prime \prime }}+y^{^{\prime }}+y=e^{x} \end{eqnarray*}$$
sabit katsayılı , homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemine dönüşür. Bu denklemin homojen kısmının çözümü;:
$$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{2}x}\left( c_{1}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +c_{2}\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right) \end{eqnarray*}$$
($c_{1}$ ve $c_{2}$ keyfi sabitler), ve bir özel çözümü;
$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}e^{x} \end{eqnarray*}$$
dir. Başlangıç koşullarının $y(0)=0$ ve $y'(0)=0$ olduğu kolayca görülür. Buradan sabitlerin belirlenmesiyle
$$\begin{eqnarray*} y=f\left( x\right) =\frac{1}{3}e^{x}-e^{-\frac{1}{2}x}\left( \frac{1}{3}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left( \frac{\sqrt{ 3}}{2}x\right) \right) \end{eqnarray*}$$
elde edilir.

---

Maalesef ozellikle Ayhan Dil hocam, ve arada baska arkadaslarin yanitlarinda da latex kodu dogru olmasina ragmen, ve onizlemede dogru gorunmesine ragmen, sayfada dogru goruntulenmiyor.

---

Latex derleyici aynı matematik oratmında birden fazla alt tire (_) görünce hata yapıyor (Metinde o kısım italik olarak görünüyor). Onları düzelttim, Fakat Türkçe karakterlerde de sorun vardı, galiba şimdi düzeldi.

---

Bunu bir türlü düzeltemiyorum. Aşağıda bu cevabı ben tekrar yazdım.

EDIT: Nihayet, KISMEN düzeltebildim. (Bu cevapta) Tüm sayfada birden fazla alt-tire kullanılıras $\LaTeX$ derleyici doğru çalışmıyor, bazı değişiklikler yaparak tek bir alt-tire kullnarak sorunu (kısmen) çözdüm.

---

Yanıtı diferansiyel denklemden kurtarmak için; $\eta$, 1'in primitif bir küpkökü olmak üzere  ilk denklem $\eta x$ ve $\eta^{2} x$ için de yazılıp üç denklem toplandığıda aynı sonuç elde edilebiliyor (ikinci ve üçüncü toplamlar sıfır olur). 

 

---

Şahane çözümmüş yazacaktım, yorumlarda daha da güzeli çıktı karşıma.