Ayhan Dil in cevabı:
İlham Aliyev ile birlikte düşündüğümüz bir çözüm şöyle:
ex=∑∞n=0xnn!= ∑∞n=0x3n(3n)! +∑∞n=0x3n+1(3n+1)!+ ∑∞n=0x3n+2(3n+2)!
eşitliğinden yola çıkalım. Burada
y=∞∑n=0x3n+2(3n+2)!
dersek yukarıdaki eşitlik
y′′+y′+y=ex
sabit katsayılı , homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemine dönüşür. Bu denklemin homojen kısmının çözümü;:
e−12x(c1cos(√32x)+c2sin(√32x))
(
c1 ve
c2 keyfi sabitler), ve bir özel çözümü;
13ex
dir. Başlangıç koşullarının
y(0)=0 ve
y′(0)=0 olduğu kolayca görülür. Buradan sabitlerin belirlenmesiyle
y=f(x)=13ex−e−12x(13cos(√32x)+1√3sin(√32x))
elde edilir.