Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
396 kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (59 puan) tarafından  | 396 kez görüntülendi

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Ayhan Dil in cevabı:

İlham Aliyev ile birlikte düşündüğümüz bir çözüm şöyle:

$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}=$ $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{
\left( 3n\right) !}$ $+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+1}}{\left( 3n+1\right) !}
+$ $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !} $

eşitliğinden yola çıkalım. Burada
\begin{eqnarray*}
y=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n+2}}{\left( 3n+2\right) !}
\end{eqnarray*}
dersek yukarıdaki eşitlik
\begin{eqnarray*}
y^{^{\prime \prime }}+y^{^{\prime }}+y=e^{x}
\end{eqnarray*}
sabit katsayılı , homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemine dönüşür. Bu denklemin homojen kısmının çözümü;:
\begin{eqnarray*}
e^{-\frac{1}{2}x}\left( c_{1}\cos \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)
+c_{2}\sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right)
\end{eqnarray*}
($ c_{1} $ ve $ c_{2} $ keyfi sabitler), ve bir özel çözümü;
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{3}e^{x}
\end{eqnarray*}
dir. Başlangıç koşullarının $ y(0)=0 $ ve $ y'(0)=0 $ olduğu kolayca görülür. Buradan sabitlerin belirlenmesiyle
\begin{eqnarray*}
y=f\left( x\right) =\frac{1}{3}e^{x}-e^{-\frac{1}{2}x}\left( \frac{1}{3}\cos
\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x\right) +\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left( \frac{\sqrt{
3}}{2}x\right) \right)
\end{eqnarray*}
elde edilir.
(4.8k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Latex derleyici aynı matematik oratmında birden fazla alt tire (_) görünce hata yapıyor (Metinde o kısım italik olarak görünüyor). Onları düzelttim, Fakat Türkçe karakterlerde de sorun vardı, galiba şimdi düzeldi.

Yanıtı diferansiyel denklemden kurtarmak için; $\eta$, 1'in primitif bir küpkökü olmak üzere  ilk denklem $\eta x$ ve $\eta^{2} x$ için de yazılıp üç denklem toplandığıda aynı sonuç elde edilebiliyor (ikinci ve üçüncü toplamlar sıfır olur). 

 

Şahane çözümmüş yazacaktım, yorumlarda daha da güzeli çıktı karşıma.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yazı dili anlaşılmıyor, rica etsem yönetimden arkadaşlar ilgilenebilirler mi? Teşekkür ederim...

(940 puan) tarafından 

Maalesef ozellikle Ayhan Dil hocam, ve arada baska arkadaslarin yanitlarinda da latex kodu dogru olmasina ragmen, ve onizlemede dogru gorunmesine ragmen, sayfada dogru goruntulenmiyor.

18,556 soru
20,845 cevap
67,870 yorum
19,266 kullanıcı