Question

Başlangıç noktası dışında kalan düzlem bölgesinde $\omega=\frac {-y}{x^2+y^2}\,dx+\frac x{x^2+y^2}\,dy$ formunun bu bölgede kapalı olduğunu, ama bu bölgede tam form olmadığını gösterin. Buna karşın, $f(x,y)=\arctan\frac yx$ için $df=\omega$ eşitliğini açıklayın.

Comments

Bu soru iki sene once tam Kasim ayinin baslarinda bir odev sorusu olarak karsima cikmisti yine. O zaman anlamamistim, hala anlamiyorum cevabi. Guzel bir cevap icin bekleyecegim.

---

ben neden akademik oldugunu anlamadim bilgisizlikten, o yuzden bekleyecegim guzel bir cevap icin.

---

Akadamik ile Lisans arasında karasız kalmıştım. Lisans da olabilir aslında.

Answer 1

1. $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac x{x^2+y^2}\right)=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac {-y}{x^2+y^2}\right)$ olduğundan kapalı bir formdur.

2. $df=\omega$ olacak şekilde ($B=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ nin tamamında tanımlı) bir $f(x,y)$ fonksiyonunun var olduğunu varsayalım. $x=\cos t,\ y=\sin t$ olsun,   ($\forall t\in\mathbb{R},\ (x(t),y(t))\in B $). $z=f(x,y)$ olmak üzere $z,\ t$ nin (bileşik) fonksiyonu olur. Zincir kuralından $\frac{dz}{dt}=\frac{\cos t}{\cos^2 t+\sin^2 t}(\cos t)+\frac{-\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t)=1$ bulunur . Öyleyse $z(t)=t+C$ şeklinde olmalıdır. Ama $z(0)=f(\cos0,\sin0)=f(\cos2\pi,\sin2\pi)=z(2\pi)$ çelişki.

 (Bu kısım, eğrisel integraller kullanarak da ispat edilebiliyor)

3. (kısaltmalardan sonra) $\frac\partial{\partial x}(\arctan \frac yx)=\frac{-y}{x^2+y^2},\ \frac\partial{\partial y}(\arctan \frac yx)=\frac{x}{x^2+y^2}$ ama $\arctan\frac yx$, $y$-ekseni boyunca tanımlı değil(dolayısıyla $B$ nin tamamında tanımlı değil)

Comments

Tesekkurler. Ben bu trigonometrik fonksiyonlari isin icine katmayi dusunmemistim sanirim hic.