Question

(2x + y +1)dx + (x +3y + 2)dy=0 için y(0)=0 Başlangıç değer problemini çözünüz.

Burada dx'in önüne P, dy'nin önüne Q dersek;
P'nin y'ye göre türevi (dP/dy), Q'nün x'e göre türevi(dQ/dx) eşit ise bu tam diferansiyel denklemdir.

Bu denklemde dP/dy = dQ/dx = 1 olduğu için Tam Diferansiyel Denklemdir.

gerekli işlemler yapıldıktan sonra;

F(x,y) = x^2 + xy + x + 3/2*y^2 + 2y + c bulunur.
y(0) = 0 olması y=0, x=0 demektir.

Şimdi sorunum burada.
F(0,0) = 0 + 0 +0 + 0 + 0 + c => F(0,0) = c çıkıyor.
Benim c sabitini bulmam gerekiyor fakat F(x,y) = y mi demek bilmiyorum.
Bana bu konuda yardımcı olabilir misiniz?

Comments

$F$'de $c$ sabitinin olduğuna emin misiniz? $F(x,y)=c$ olmalı değil mi? Buraya dikkat:

$\frac{\partial F}{\partial x}=P$ ve $\frac{\partial F}{\partial y}=Q$ dur. O zaman diferansiyel denklemi $$\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0$$ şekline sokabilirsiniz. Buysa  $dF$ tam diferansiyelinden başka birşey değildir. O zaman, $$dF=0\Rightarrow F(x,y)=c$$ elde edilir. Başlangıç koşuluna göre $c=0$ elde edilir.

---

Hocam cevabınız için çok teşekkür ederim.

---

Rica ederim.