Tanım: (X,τ) topolojik uzay ve A⊆X olmak üzere
A,τ-kompakt:⇔[(A⊆τ)(A⊆⋃A)⇒(∃A∗⊆A)(|A∗|<ℵ0)(A⊆⋃A∗)]
Teorem: (X,τ) topolojik uzay ve A,B⊆X olmak üzere
(A, τ-kompakt)(B, τ-kompakt)⇒A∪B, τ-kompakt.
İspat: A ve B, τ-kompakt olsun.
A,τ-kompakt⇒[(A1⊆τ)(A⊆⋃A1)⇒(∃A∗1⊆A1)(|A∗1|<ℵ0)(A⊆⋃A∗1)]…(1)
B,τ-kompakt⇒[(A2⊆τ)(B⊆⋃A2)⇒(∃A∗2⊆A2)(|A∗2|<ℵ0)(B⊆⋃A∗2)]…(2)
(1),(2)⇒[(A1∪A2⊆τ)(A∪B⊆(⋃A2)∪(⋃A2))⇒(∃A∗12:=A∗1∪A∗2⊆A1∪A2)(|A1∪A2|<ℵ0)(A∪B⊆(⋃A∗2)∪(⋃A∗2)=⋃A∗12)]
⇒A∪B,τ-kompakt.
n∈N olmak üzere n tane kompakt kümenin birleşiminin kompakt olduğunu benzer şekilde gösterebilirsin.