Question

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayında $(1,2]$ kümesinin $\mathcal{U}$-kompakt olmadığını kompaktlık tanımını kullanarak gösteriniz.

Answer 1

$\mathcal{A}=\{(1+ \frac{1}{n} , 3)  \big{|} n\in\mathbb{N} \}\subseteq\mathcal{U} \ $ ve $\ (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A} $ olduğundan $\mathcal{A}$ ailesi , $(1,2]$ kümesinin bir $\ \mathcal{U} -$ açık örtüsüdür.

$\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A} $ , $|\mathcal{A}^*|<\aleph_0$  ve $(1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*$ olduğunu varsayalım.

$(\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0) \Rightarrow (\exists \{n_1,n_2,n_3,...,n_k \}\subseteq\mathbb{N})(\mathcal{A}^*=\{(1+ \frac{1}{n_i} , 3) \big{|} i\in\{1,2,3,...,k \}\})$

$\Rightarrow \begin{array}{c} \\  \left. \begin{array}{rr} (n_0:=max\{n_1,n_2,...,n_k \} +1 \in\mathbb{N} ) (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*) \\  (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^* \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.} \end{array}$

Comments

İspat zinciri sağlıklı değil Hakan. İspat zincirini bir daha gözden geçirsene.

---

Hocam düzelttim eksik olan şeyleri başka göremedim. Sağlıksız durum devam ediyor mu?

---

$\Rightarrow$ bulunan yerlere tekrar bak. Şunu demek istiyorum. Alttan 3. satırdaki bilgiden alttan 2. satırdaki bilgi elde edilebilir mi?

---

$ \cdots \\ \Rightarrow \begin{array}{c} \\  \left. \begin{array}{rr} (\exists\{n_1,n_2,...,n_k \}\subseteq\mathbb{N}) (n_0:=max\{n_1,n_2,...,n_k \} +1 \in\mathbb{N} ) (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*) \\  (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^* \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.} \end{array}$ 

Bu şekilde olması mı doğru hocam. Çünkü ben başka  bir kopukluk göremiyorum.(Ya da gözden kaçırıyorum.)

---

$$\mathcal{A}:=\left\{\left(1+ \frac{1}{n}, 3\right)  \big{|} n\in\mathbb{N} \right\}\subseteq\mathcal{U} \ $$ ve $$\ (1,2]\subseteq (1,3)=\cup \mathcal{A} \ $$ olduğundan $\mathcal{A}$ ailesi, $(1,2]$ kümesinin bir $\ \mathcal{U}$-açık örtüsüdür. Şimdi bu açık örtünün sonlu bir altörtüsünün olduğunu yani $\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A} $ , $|\mathcal{A}^*|<\aleph_0$  ve $(1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*$ olduğunu varsayalım. $\mathcal{A}$ açık örtüsünün sonlu bir altörtüsünün olduğunu varsaydığımızda

$\left.\begin{array}{rr}(\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0) ((1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*)\Rightarrow (\exists \{n_1,n_2,n_3,...,n_k \}\subseteq\mathbb{N})\left(\mathcal{A}^*=\{(1+ \frac{1}{n_i},3) \big{|} i\in\{1,2,3,...,k \}\}\right)\left((1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*\right)\\ \\ n_0:=\max\{n_1,n_2,...,n_k \} +1 \in\mathbb{N} \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*)(1+ \frac{1}{n_0}\in (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*)$

$\Rightarrow (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*)(1+ \frac{1}{n_0}\in \cup\mathcal{A}^*)$

çelişkisini elde ederiz.

---

Güzel olmuş hocam. Ellerinize sağlık.