kompaktlık

Question

a) Kompakt uzayların sonlu bileşimleri kompakttır.

b) $S^n$ kümesi, $\mathbb{R}^n$ kümesinin tıkızlamasıdır.

c) $\mathbb{R}$$\mathbb{P}^n$,  $\mathbb{R}^n$ kümesinin tıkızlamasıdır. ( $|x_i|$ $\leq$ 1 homojen koordinatlarıyla )

Gösteriniz.

Comments

Bir uzayın tıkızlaması biriciktir. n boyutlu projektif uzay n-kürenin bölüm uzayı, birbirlerine homeomorf değiller. 

---

Doğan hoca anımsattı sağolsun, benim kafam tek noktada tıkızlamaya gitmişti. Elbette bir uzayın birden fazla tıkızlaması olabilir. Bir örnek de vereyim de tam olsun:

$(0,1)$'i bir noktada tıkızlarsak çember buluruz. Ama iki ucuna da birer son nokta ekleyerek tıkızlarsak $[0,1]$ buluruz ve bu iki uzay homeomorf da değildir homotopipk de değildir.

Answer 1

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A, \tau\text{-kompakt}:\Leftrightarrow \left [\left(\mathcal{A}\subseteq \tau\right)\left(A\subseteq \bigcup \mathcal{A}\right)\Rightarrow \left(\exists \mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A}\right)\left(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0\right)\left(A\subseteq \bigcup\mathcal{A}^*\right)\right ]$$

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A,B\subseteq X$ olmak üzere

$$(A, \,\ \tau\text{-kompakt})(B, \,\ \tau\text{-kompakt})\Rightarrow A\cup B, \,\ \tau\text{-kompakt}.$$

İspat: $A$ ve $B$, $\tau$-kompakt olsun.

$A, \tau\text{-kompakt}\Rightarrow \left [\left(\mathcal{A}_1\subseteq \tau\right)\left(A\subseteq \bigcup \mathcal{A}_1\right)\Rightarrow \left(\exists \mathcal{A}^*_1\subseteq \mathcal{A}_1\right)\left(|\mathcal{A}^*_1|<\aleph_0\right)\left(A\subseteq \bigcup\mathcal{A}^*_1\right)\right ]\ldots (1)$

$B, \tau\text{-kompakt}\Rightarrow \left [\left(\mathcal{A}_2\subseteq \tau\right)\left(B\subseteq \bigcup \mathcal{A}_2\right)\Rightarrow \left(\exists \mathcal{A}^*_2\subseteq \mathcal{A}_2\right)\left(|\mathcal{A}^*_2|<\aleph_0\right)\left(B\subseteq \bigcup\mathcal{A}^*_2\right)\right ]\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \left [\left(\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2  \subseteq \tau\right)\left(A\cup B\subseteq \left(\bigcup \mathcal{A}_2\right)\cup \left(\bigcup \mathcal{A}_2\right)\right)\Rightarrow \left(\exists  \mathcal{A}^*_{12}:= \mathcal{A}^*_1\cup \mathcal{A}^*_2\subseteq \mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2 \right)\left(|\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2|<\aleph_0\right)\left(A\cup B\subseteq \left(\bigcup\mathcal{A}^*_2\right) \cup \left(\bigcup\mathcal{A}^*_2\right)=\bigcup\mathcal{A}^*_{12}\right)\right ]$

$\hspace{1.4cm}$$\Rightarrow A\cup B, \tau\text{-kompakt}.$

$n\in\mathbb{N}$ olmak üzere $n$ tane kompakt kümenin birleşiminin kompakt olduğunu benzer şekilde gösterebilirsin.

Answer 2

b şıkkını ispatlamak için bir teorem var onu kullanabilirsin. Ben söylemeyeceğim ne olduğunu ama şunun genellemesi: Reel sayıların içinde kapalı aralıklar tıkızdır.

c şıkkı için de projektif uzayın her örtüsünün $S^n$'in bir örtüsünü verdiğini gösterebilirsin. Sonra da b şıkkını kullanacaksın tabi.