Question

$P(Q(x))=(x-1)(x-2)\cdots(x-15)$ eşitliğini sağlayan derecesi birden büyük polinomlar var mıdır?

Comments

hangisinin derecesi birden buyuk olacak?

---

İkisi de yanılmıyorsam.

Answer 1

Bu şekilde polinomların var olup olmadığı, $P(Q(x))$ polinomunun köklerinin değerlerine bağlıdır. Köklerden bağımsız olarak karar verilemez. Güzel bir soru olmuş.

Bu sorudaki kökler 1,2,...,15 olup (hesabını yapmadım ama uzunca bir hesapla, ( basit bir bilgisayar programı ile daha kolayca veya güzel kısa bir mantık ile ) sanıyorum böyle iki polinomun var olmadığı görülür. Ben, (kök olarak) başka sayılar kullanıldığında böyle polinomların var olduğu gösteren bir örnek vereyim:

$a_1,a_2,\ldots,a_{15}$ sayıları (farklı olmayabilirler) ,

$$a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_{6}=\cdots=a_{13}+a_{14}+a_{15}$$ ve 

$$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3=\cdots=a_{13}a_{14}+a_{13}a_{15}+a_{14}a_{15}$$

olacak şekilde (15 bilinmeyen daha az denklem olduğu için bulunabilir) seçilirse ve $b=a_1+a_2+a_3$, $c=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$ alınıp,

$$Q(x)=x^3-bx^2+cx,\quad P(x)=(x-a_1a_2a_3)(x-a_4a_5a_6)\cdots(x-a_{13}a_{14}a_{15})$$

alındığında $P(Q(x))=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_{15})$ olduğu, $a_1,a_2,\ldots,a_{15}$ sayılarının herbirinin $P(Q(x))$ in kökü oluşundan görülür. 

 Başka (farklı dereceli) bir örnek de $Q(x)=x^2-7x,\ P(x)=(x+6)(x+10)(x+12)$ için (köklerine bakarak) $P(Q(x))=(x-1)(x-2)\cdots(x-6)$ olduğu görülür. Bunun ilgili genel bir kriter bulduğumu sanıyorum. Bulduklarımı yazmayı bitirince paylaşırım.

Comments

İkinci koşul olarak $a_1^2+a_2^2+a_3^2=a_4^2+a_5^2+a_6^2=\cdots=a_{13}^2+a_{14}^2+a_{15}^2$ da istenebilir ($c$ yi yine $a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$ almak gerekiyor). Bulduğum kriter bu örneklerden görülebiliyor.

---

Güzel bir yaklaşım.teşekkürler.

Answer 2

$P$'nin derecesi 5 ya da 3 olabilir. Diyelim ki $3$ olsun (en kotu tercih bu). O zaman $P(Q(1,\cdots,15))=0$ ve  $deg(P)=3$. O halde bu icerdekilerin $5$erli olarak ayni degeri vermesi lazim ve hepsi birbirinden farkli olmasi lazim..

O zaman $Q(x)=u(x-a_1)\cdots(x-a_5)+b_1$ ve $Q(x)=v(x-a_6)\cdots (x-a_{10})+b_2$ olmasi lazim.. $a_i$'ler $1$ ile $15$ arasinda ve farkli. ve $b_1 \neq b_2$ o zaman bu bir celiski getirir.

Cok detayli yazmadim ama anlasilir diye tahmin ediyorum.