Question

$P(x)^2+P(\frac1x)^2= P(x^2)P(\frac1{x^2})$ eşitliğini sağlayan bütün polinomları bulun

Answer 1

Kaba kuvvetle yaptım ve $0$ polinomdan başka polinomun sağlamadığını buldum. Kaba kuvvet işi hammâliyeli olduğu için buraya yazamıyorum. Fakat $n$ dereceli bir polinom alıp eşitliğe uygun şekilde ifadeye konur ve kuvvetlere göre katsayılar eşitlenirse, bütün katsayıların $0$ olması gerektiği çıkar.

Comments

Hmm. Muhtemelen daha hos bor cozumu vardir. Dusunelim.

Answer 2

$(P(x)-P(1/x)/2)^2$=$-3/4.(p(1/x)^2)$.  Tam kare içi sıfır olmalı

$a^2=-b^2$   burada oluyor mu peki ? Pozitif bir ifade negatif bir ifadeye eşit geliyor bir cvp oldu mu ? 

Comments

1/4 katsayisini atlamissiniz galiba..

---

Evet dalgınlık kağıt üstünde uraşmadm o yüzden atlamışım

---

bu sefer de iceride $x^2$ oldugunu.. :)

---

Evet ya soruyu görmek daha zor çömekten :) 

Answer 3

ilk olarak:  $P$nin derecesine $n$ diyelim. O zaman $P(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^n}P^*(x)$ olur. Bu gozlemden sonra bitiyor aslinda..

$P(x)^2+\frac{1}{x^{2n}}P^*(x)^{2}=\frac{1}{x^{2n}}P(x^2)P^*(x^2)$ Burdaki dereceleri inceledigimizde  $P=0$ geliyor.

Comments

$P^*(x)=x^nP(\frac{1}{x})$

Answer 4

$P(x)$ polinom iken $P(\frac{1}{x})$ de polinomsa, bu polinom ya sabit polinomdur ya 0 polinomu, toplamların çarpıma eşitliği verilmiş bu ancak 0 için mümkün

Comments

onun polinom oldugunu bilmiyoruz. $P(x)$ sadece polinom.

---

:) soruda yalnızca P(x) mi polinom diyor ben öyle anlamıyorum

---

O zaman tüm $f(x,y,z,\cdots)$ polinomları bunu sağlar :) çünkü $P$'den de bahsedilmemiş.