$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ ve $z_1+z_2+z_3=0$ olacak biçimde $z_1,z_2,z_3$ kompleks sayılarının çember etrafında çevrelenen bir eşkenar üçgenin köşelerini oluşturduğunu ve bu üçgeni çevreleyen çemberin birim çember olduğunu gösteriniz.

Question

Daha önce soruyu sormuştuk eksik yazım olduğundan tekrardan sorma ihtiyaçı duydum bakarsanız sevinirim.

Answer 1

Soru ilk bakista cok karisik gibi gozukse de kucuk bir gozlem her seyi kolaylastiriyor:

Gozlem: Duzlemi dondurmek, soruyu degistirmez.

Bunu cebirsel olarak, daha anlasilabilir sekilde yazalim.

Gozlem': $c \in \mathbb{C}$ ve $|c| = 1$ olsun ve $w_1 = cz_1, w_2= cz_2, w_3=cz_3$ diyelim. Bu durumda  $|w_1| = |w_2| = |w_3| = 1$ ve $w_1+w_2+w_3 = 0$ olur.

Bu gozlemi kanitlamak cok kolay. Simdi $c = z_1^{-1}$ secelim. Bu durumda yukarida yazdigimiz gozlemler sunu soyluyor:

Gozlem'': $z_1 = 1$ alabiliriz, genelligi bozmadan.

Soru suna donustu:

Soru: $|z| = |w| = 1$ ve $z+ w = -1$ olacak sekilde, koseleri $z, w , 1$ noktalarinda bulunan ucgen, eskenar bir ucgendir.

Artik bu soru bir lisans sorusu degil lise sorusu oldu. $z = a + bi$ ve $w = c+di$ olsun. $z + w = -1$ demek, $a = c = \frac{-1}{2}$ ve $b = -d$ demek. $b > 0$ oldugunu kabul edelim. Pisagor teoremini ($|z| = |w| =1$ oldugunu) kullanarak $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ve $d = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ bulunur. Yani, ucgenimizin kose noktalarinin acilari $0, \pi/3$ ve $2\pi/3$. Bu da gosteriyor ki ucgenimiz bir eskenar ucgen (Neden?).