PBA eşkenar üçgen, x noktası üçgenin dışında bir nokta. PX sekiz, BX üç ve AX beş birim ise Eşkenar üçgenin bir kenarı?

Question

PBA eşkenar üçgen, x noktası üçgenin dışında bir nokta. PX sekiz, BX üç ve AX beş birim. Eşkenar üçgenin bir kenarı?

Comments

Sen bu soruda ne düşündün/denedin Asch?

---

kosinüs teoreminden ilerlemeye çalıştım lâkin değişken sayısı fazla olduğundan kafam karıştı. Sonra P noktasına göre PBX üçgenini 60 derece döndürdüğümde A noktası ile X noktası arasında doğrusallık olduğunu fark ettim buradan ilerleyebiliyorum ama pek doğru yapıyormuşum gibi hissettirmedi.

---

$BXA$ üçgenin in eşi olan $BX'P$ üçgenini $PBA$ üçgeninin iç bölgesinde oluşturursanız  $P, X', X$ noktaları doğrusal olmalı. 

---

$BX'P$ üçgenini $PBA$ üçgeni içinde kalacak şekilde çizebileceğimizi ve sonrasında $P,X',X$ noktalarının doğrusal olduğunu kanıtlamak gerekmez mi?

Answer 1

$PAB$ bir kenar uzunluğu $a$ birim olan bir eşkenar üçgen olsun. $X$ 'de üçgenin dışında bir nokta olsun.  $|PX|=8,\quad|PB|=3,\quad |PA|=5$ birim olsunlar. Ayrıca biz de $m(PXB)=\alpha,\quad  m(PXA)=\theta$ olarak kabul edelim. Üçgen eşitsizlikleri kullanılarak;

$PBX$' te $5<a<11$

$PAX$'te  $3<a<13$  ve 

$ABX$'te  $2<a<8$ oldukları görünür. O halde bulunması istenen $a$ değerinin  $5<a<8$ olması gerektiği  ve $25<a^2<64$ olduğu açıktır.

Kosinüs teoremi kullanılarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$PBX$ üçgeninden:  $ a^2=64+9-48cos\alpha\Rightarrow  cos\alpha=\frac{73-a^2}{48}.........(1)$ 

$PAX$ üçgeninden:  $ a^2=64+25-80cos\theta\Rightarrow  cos\theta=\frac{89-a^2}{80}.........(2)$ 

$ABX$ üçgeninden:  $ a^2=25+9-30cos(\alpha+\theta)\Rightarrow  cos(\alpha+\theta)=\frac{34-a^2}{30}..(3)$ 

Öteyanda $cos(\alpha+\theta)=cos\alpha cos\theta-sin\alpha sin\theta$ dır. Eğer $(1),(2),(3)$ deki değerler yerlerine yazılırsa

$\frac{34-a^2}{30}=\frac{89-a^2}{80}.\frac{73-a^2}{48}-\sqrt{1-(\frac{89-a^2}{80})^2}.\sqrt{1-(\frac{73-a^2}{48})^2}$ gibi $a$ 'ya bağlı bir eşitlik elde edilir. Uzun ve dikkat isteyen düzenleme işlemlerinden sonra $17a^4-1186a^2+6497=0$  denklemi elde edilir.  Buradan da $a^2=\frac{593\pm 60\sqrt{67}}{17}$  bulunur.

Ara işareti pozitif iken $a^2$63,7718,  ve ara işareti neğatif iken $a^2$ yaklaşık 5,9928 dir. Uygun olan $a$ değeri bulunur artık. 

Answer 2

$BXA$ üçgenin in eşi olan $BX'P$ üçgenini $PBA$ üçgeninin iç bölgesinde oluşturursanız  $P, X', X$ noktaları doğrusal olmalı diye yorum yapmıştım. Dediğim yapılırsa $AX'X$ üçgeninde X' açısının 180 derece olması gerektiği görülür. Yani bu üçgen dejenere olarak AX doğrusuna dönüşür. Aradığımız yanıt 7 olmalı bu durumda.