Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi
Kenarları $a,2a,4$ olan üçgenin alanı en çok kaç birim kare olabilir?

Seçeneklerde $4, 13/3, 14/3,5, 16/3$ verilmiş. $a$  ve  $2a$ uzunluktaki kenarlar arasındaki açı dik olursa alan en çok olur diye düşünerek Pisagordan  $a=4/\sqrt5$ ve alanı da $S=a^2$ olduğundan $16/5$ buldum. Seçenekler mi hatalı acaba?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (44 puan) tarafından  | 1.6k kez görüntülendi
Niçin (hipotenüsü 4 olan) dik üçgenin en büyük alan sahip olacağını düşündünüz?
$Alan=(1/2)a.2a.sin\alpha$ formülüne göre $\alpha=90$ iken alanın en büyük olacağını düşündüm. Oradan da $a$ değerini buldum Pisagordan. Bu neden doğru değil?

Bu formülde $a$ sabit değil, $\alpha$ ve $a$ birbirine bağlı. Biri değişince diğeri de değişiyor, o nedenle.

Teşekkürler. O zaman diğer kenarın uzunluğu olan $4$ birim verilmeseydi benim dediğim doğru olurdu, yani iki kenarı belli olan üçgenler arasında aradaki açı $90$ iken alan en çok olurdu.
$a$ ile (senin kullandığın)  $\alpha$ (ben $\theta$ kullanmışım) arasındaki ilişki, ikinci (Analiz ile) çözümde açıkça görülüyor: $\cos\alpha=\frac{5a^2-16}{4a^2}$

7 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Soruyu ortalama eşitsizlikleri, max değer için parabol bilgisi veya bir değişkenli fonksiyonlada türev gibi yöntemlerle de çözebiliriz. Fakat, bu soruların en hızlı çözümü Apollonius Çemberi ile yapılır. Onu göstereyim:

 

$|CA|=2a, |CB|=a$ ve $|AB|=4$ olsun. $C$ nin iç açıortayı ve dış açıortayını çizelim. Bu açıortaylar $AB$ doğrusunu sırasıyla $D$, $E$ noktalarında kessin. Açıortay teoremlerinin iyi bilindiğini varsayarak $|BE|=4$, $|DB|=\dfrac{4}{3}$ olduğunu söyleyebiliriz. Böylece $|DE|=4+\dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}$ buluruz.

 

Bu açıortayların birbiriyle dik kesiştiğini iyi biliyoruz. Yani $m(\widehat{DCE})=90^\circ $ dir. Dikkat ediniz ki, $|DE|$ uzunluğu sabit ve bu uzunluğu gören $\widehat{DCE}$ açısı da sabittir. O halde bu değişken $C$ noktasının geometrik yeri nedir? Tabii ki, $|DE|$ çaplı çemberdir. İşte bu çembere, $ABC$ üçgeninin $C$ noktasına göre Apollonius çemberi deniyor. $C$ den $AB$ doğrusuna bir dikme çizelim ve yüksekliğin ne zaman en büyük değere ulaşacağını gözlemleyelim. Tam olarak bu $C$den inen yükseklik, çemberin $O$ merkezinden geçtiği zaman, yüksekliğin en büyük değerini alacağını rahatça görebiliyoruz. $C$ yi kırmızı noktalı çember üzerinde gezdirirsek, bunu daha iyi anlayabiliriz. $|CO|= \dfrac{|DE|}{2} = \dfrac{8}{3}$, $C$ den inen maksimum yüksekliktir. Peki, artık alanı hesaplayalım:

$$Alan(ABC)_\max = \dfrac{4\cdot (8/3)}{2} = \dfrac{16}{3}$$ bulunur.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Açıortay teoremlerine gerek kalmadan, $|BE|=4,\ |DB|=\frac43$ olduğu, Apollonius çemberinin özelliklerinden de bulunabilir. (Apollonius çemberi, iki noktaya uzaklıkları oranı sabit olan noktaların kümesidir)
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Lokman Hocamın çizimini esas alalım: $\triangle ABC$ üçgeninin çevrel çemberini çizelim ve $\widehat{BCD}$ teğet kiriş açısının teğet kolu ile $[AB]$ kenarının uzantısının kesim noktasına $D$ diyelim.

Aynı yayı gören teğet kiriş açı ve çevre açılar birbirine eşit olacağından $m\widehat{CAD}=m\widehat{BCD}$ ve dolayısıyla $\triangle CBD\sim\triangle ACD$ olur. Benzerlik oranları kolayca yazılır ve $|BD|=4/3$, $|CD|=8/3$ olarak hesaplanır.

$\triangle BCD$ üçgeninin $[BD]$ kenarına ait yüksekliği $\triangle ABC$ üçgenin $[AB]$ kenarına da aittir ve $h\le8/3$ olacağından en çok $h=8/3$ alınabilir.

Buradan maksimum alan $$S=4(8/3)(1/2)=16/3$$ bulunur.
(3.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Bir de Analiz kullanarak çözüm yapalım. (Geometrik çözüm daha kısa ve daha güzel)

    $4$ uzunluğundaki kenarın karşısındaki açıya $ \theta $ diyelim.
    Kosinüs Teoreminden,  $ a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=4^2 $ olur.
    Buradan, $ \cos\theta=\dfrac{5a^2-16}{4a^2} $ elde edilir.
    $ \text{Alan}=\frac12a\cdot(2a)\sin\theta $ dır.
    ($ \sin\theta>0 $ olduğu için) $ \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{5a^2-16}{4a^2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{160a^2-9a^4-256}}{4a^2}$ olur.
    $\text{Alan}= \frac14{\sqrt{160a^2-9a^4-256}} $ olur.
    $ 160a^2-9a^4-256 $ yi maksimum yapan $ a $ değeri alanı da maksimum yapar.
    ($ a $ ya göre türev alarak) Kritik sayılar: $ 4a(80-9a^2)=0 $ dan ($ a=0 $ ya da) $ a=\pm\frac{4\sqrt5}3 $ bulunur.
    Üçgen eşitsizliklerinden ($ a<4<3a $ olmalı ve bunu sonucu olarak) $ \frac43<a<4 $ olmalıdır.
    Bu aralıktaki biricik kritik sayı $ a=\frac{4\sqrt{5}}{3} $ dür.
    Türev, $ \frac43<a<\frac{4\sqrt{5}}{3}$ için pozitif, $ a>\frac{4\sqrt{5}}{3} $ için negatif olduğundan, $ 160a^2-9a^4-256 $ fonksiyonu (dolayısıyla üçgenin alanı), $ (\frac43,4) $ aralığındaki maksimum değerine $ a= \frac{4\sqrt{5}}{3} $ iken ulaşır.
    $\text{Maksimum alan}=  \frac14\sqrt{160a^2-9a^4-256}=  \frac14 \frac{64}{3}=\frac{16}{3} $ bulunur.
(6.2k puan) tarafından 
Elinize sağlık Doğan hocam, tüm çözümler çok güzel oldu.
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Heron formülü ile de kolay çözülebiliyor.

$s=\frac12(4+a+2a)=2+\frac32a$ olup, Alan$=\sqrt{s(s-a)(s-2a)(s-4)}$ den.

$\textrm{Alan}=\sqrt{(2+\frac32a)(2+\frac12a)(2-\frac12a)(\frac32a-2)}=\sqrt{a^2(20-\frac98a^2)-32}$

$a^2(20-\frac98a^2)-32$ yi maksimum yapmak yeterlidir.

Türevi$=a(20-\frac94a^2)$ olup diğer (Analiz ile) çözümdeki gibi

Maksimum Alan=$\frac{16}3$ bulunur.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Bahsettiğim ortalama eşitsizliği ile yapılan çözümü de paylaşayım:

 

Bu yöntemde de Heron formülü'nü kullanacağız. Yarıçevre $s$'i kolay hesaplamak için üçgenin kenar uzunluklarına $2a, 4a, 4$ diyelim. $s = 3a+2$ olur. $Alan(ABC)=S$ olmak üzere $S^2 = (3a+2)(3a-2)(2+a)(2-a)=(9a^2 - 4)(4-a^2)$ olur. Bu bağıntıyı

$$  S^2 = 9\cdot \left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right)$$

biçiminde yazarsak aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini uygulamak kolaylaşır:

$\left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right) \leq \left[\dfrac{a^2 - \dfrac{4}{9} + 4-a^2}{2} \right]^2 = \left( \dfrac{16}{9}\right)^2$ olduğundan

$S^2 \leq 9\cdot \left( \dfrac{16}{9}\right)^2 \implies S \leq \dfrac{16}{3}$ elde edilir.

 

$S_\max = \dfrac{16}{3}$ olmasını sağlayan kenar uzunluklarını da belirleyelim. Ortalama eşitsizliğinde eşitlik analizi yapmalıyız, yani $a^2 - \dfrac{4}{9} = 4-a^2 $ olmalıdır. Buradan $a= \dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ olup üçgenin kenarları $\dfrac{4\sqrt{5}}{3}, \dfrac{8\sqrt{5}}{3}, 4$ olur.
(2.6k puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Çok farklı bir yol değil ama gösterelim: Parabol bilgisiyle de şöyle çözebiliriz. Yine kenar uzunluklarına $2a, 4a, 4$ dedikten sonra Heron formülü ile

$$  S^2 = 9\cdot \left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right) $$

alan bağıntısını yazalım. $a^2 = t$ denirse ($t>0$),

$$  S^2 = f(t)  = 9\cdot \left(t - \dfrac{4}{9} \right) \left( 4-t \right) $$

parabol fonksiyonunu elde ederiz. Kolları aşağı yönlü olan bu parabol, tepe noktasında en büyük değerini alacaktır. Bu değer ise, köklerin aritmetik ortası olan $t = \dfrac{\dfrac{4}{9} + 4}{2} = \dfrac{20}{9}$ için elde edilir. $S_\max = \dfrac{16}{3}$ bulunur.
(2.6k puan) tarafından 
Güzel çözümler ve yorumlar için teşekkür ederim.
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu sorunun neredeyse aynısı, Tübitak Lise 1. Aşama/2003 sınavında soruldu.

Daha genel halini şöyle ifade edebiliriz:

Soru: $\triangle ABC$'de $BC=a$ ve $AC/AB=b/c$ oranı sabitten, $[ABC]$ en çok kaç olabilir?

 

$AN_1$ iç açıortay $AN_2$ dış açıortay olsun. $N_1N_2$ nin orta noktası da $M$ olsun.
$b<c$ kabul edelim. 

$CN_1 = \dfrac{ab}{b+c}$

$CN_2 = \dfrac{ab}{c-b}$

Maksimum yükseklik için $AM = CN_1 = CN_2 = \dfrac{N_1N_2}{2} = \dfrac{abc}{c^2-b^2}$.

Biraz daha düzenlemeyle $h_{\max} = a \cdot \dfrac{1}{\left | \frac cb - \frac bc \right |}$.

$[ABC]_{\max} = \dfrac {a^2}2 \cdot \dfrac{1}{\left | \frac cb - \frac bc \right |}$ $\blacksquare$

Bir not düşelim: $b=c$ iken üst limit yoktur.

 

 

Kaynak: https://geomania.org/forum/index.php?topic=3748.msg12555#msg12555

(25 puan) tarafından 
20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,529,057 kullanıcı