Bir kenarı diğerinin 2 katı uzunlukta olan üçgenin alanı en çok kaç birim kare olur?

Question

Kenarları $a,2a,4$ olan üçgenin alanı en çok kaç birim kare olabilir?

Seçeneklerde $4, 13/3, 14/3,5, 16/3$ verilmiş. $a$  ve  $2a$ uzunluktaki kenarlar arasındaki açı dik olursa alan en çok olur diye düşünerek Pisagordan  $a=4/\sqrt5$ ve alanı da $S=a^2$ olduğundan $16/5$ buldum. Seçenekler mi hatalı acaba?

Comments

Niçin (hipotenüsü 4 olan) dik üçgenin en büyük alan sahip olacağını düşündünüz?

---

$Alan=(1/2)a.2a.sin\alpha$ formülüne göre $\alpha=90$ iken alanın en büyük olacağını düşündüm. Oradan da $a$ değerini buldum Pisagordan. Bu neden doğru değil?

---

Bu formülde $a$ sabit değil, $\alpha$ ve $a$ birbirine bağlı. Biri değişince diğeri de değişiyor, o nedenle.

---

Teşekkürler. O zaman diğer kenarın uzunluğu olan $4$ birim verilmeseydi benim dediğim doğru olurdu, yani iki kenarı belli olan üçgenler arasında aradaki açı $90$ iken alan en çok olurdu.

---

$a$ ile (senin kullandığın)  $\alpha$ (ben $\theta$ kullanmışım) arasındaki ilişki, ikinci (Analiz ile) çözümde açıkça görülüyor: $\cos\alpha=\frac{5a^2-16}{4a^2}$

Answer 1

Soruyu ortalama eşitsizlikleri, max değer için parabol bilgisi veya bir değişkenli fonksiyonlada türev gibi yöntemlerle de çözebiliriz. Fakat, bu soruların en hızlı çözümü Apollonius Çemberi ile yapılır. Onu göstereyim:

 

$|CA|=2a, |CB|=a$ ve $|AB|=4$ olsun. $C$ nin iç açıortayı ve dış açıortayını çizelim. Bu açıortaylar $AB$ doğrusunu sırasıyla $D$, $E$ noktalarında kessin. Açıortay teoremlerinin iyi bilindiğini varsayarak $|BE|=4$, $|DB|=\dfrac{4}{3}$ olduğunu söyleyebiliriz. Böylece $|DE|=4+\dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}$ buluruz.

 

Bu açıortayların birbiriyle dik kesiştiğini iyi biliyoruz. Yani $m(\widehat{DCE})=90^\circ $ dir. Dikkat ediniz ki, $|DE|$ uzunluğu sabit ve bu uzunluğu gören $\widehat{DCE}$ açısı da sabittir. O halde bu değişken $C$ noktasının geometrik yeri nedir? Tabii ki, $|DE|$ çaplı çemberdir. İşte bu çembere, $ABC$ üçgeninin $C$ noktasına göre Apollonius çemberi deniyor. $C$ den $AB$ doğrusuna bir dikme çizelim ve yüksekliğin ne zaman en büyük değere ulaşacağını gözlemleyelim. Tam olarak bu $C$den inen yükseklik, çemberin $O$ merkezinden geçtiği zaman, yüksekliğin en büyük değerini alacağını rahatça görebiliyoruz. $C$ yi kırmızı noktalı çember üzerinde gezdirirsek, bunu daha iyi anlayabiliriz. $|CO|= \dfrac{|DE|}{2} = \dfrac{8}{3}$, $C$ den inen maksimum yüksekliktir. Peki, artık alanı hesaplayalım:

$$Alan(ABC)_\max = \dfrac{4\cdot (8/3)}{2} = \dfrac{16}{3}$$ bulunur.

Comments

Açıortay teoremlerine gerek kalmadan, $|BE|=4,\ |DB|=\frac43$ olduğu, Apollonius çemberinin özelliklerinden de bulunabilir. (Apollonius çemberi, iki noktaya uzaklıkları oranı sabit olan noktaların kümesidir)

Answer 2

Lokman Hocamın çizimini esas alalım: $\triangle ABC$ üçgeninin çevrel çemberini çizelim ve $\widehat{BCD}$ teğet kiriş açısının teğet kolu ile $[AB]$ kenarının uzantısının kesim noktasına $D$ diyelim.

Aynı yayı gören teğet kiriş açı ve çevre açılar birbirine eşit olacağından $m\widehat{CAD}=m\widehat{BCD}$ ve dolayısıyla $\triangle CBD\sim\triangle ACD$ olur. Benzerlik oranları kolayca yazılır ve $|BD|=4/3$, $|CD|=8/3$ olarak hesaplanır.

$\triangle BCD$ üçgeninin $[BD]$ kenarına ait yüksekliği $\triangle ABC$ üçgenin $[AB]$ kenarına da aittir ve $h\le8/3$ olacağından en çok $h=8/3$ alınabilir.

Buradan maksimum alan $$S=4(8/3)(1/2)=16/3$$ bulunur.

Answer 3

Bir de Analiz kullanarak çözüm yapalım. (Geometrik çözüm daha kısa ve daha güzel)

    $4$ uzunluğundaki kenarın karşısındaki açıya $ \theta $ diyelim.
    Kosinüs Teoreminden,  $ a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=4^2 $ olur.
    Buradan, $ \cos\theta=\dfrac{5a^2-16}{4a^2} $ elde edilir.
    $ \text{Alan}=\frac12a\cdot(2a)\sin\theta $ dır.
    ($ \sin\theta>0 $ olduğu için) $ \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{5a^2-16}{4a^2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{160a^2-9a^4-256}}{4a^2}$ olur.
    $\text{Alan}= \frac14{\sqrt{160a^2-9a^4-256}} $ olur.
    $ 160a^2-9a^4-256 $ yi maksimum yapan $ a $ değeri alanı da maksimum yapar.
    ($ a $ ya göre türev alarak) Kritik sayılar: $ 4a(80-9a^2)=0 $ dan ($ a=0 $ ya da) $ a=\pm\frac{4\sqrt5}3 $ bulunur.
    Üçgen eşitsizliklerinden ($ a<4<3a $ olmalı ve bunu sonucu olarak) $ \frac43<a<4 $ olmalıdır.
    Bu aralıktaki biricik kritik sayı $ a=\frac{4\sqrt{5}}{3} $ dür.
    Türev, $ \frac43<a<\frac{4\sqrt{5}}{3}$ için pozitif, $ a>\frac{4\sqrt{5}}{3} $ için negatif olduğundan, $ 160a^2-9a^4-256 $ fonksiyonu (dolayısıyla üçgenin alanı), $ (\frac43,4) $ aralığındaki maksimum değerine $ a= \frac{4\sqrt{5}}{3} $ iken ulaşır.
    $\text{Maksimum alan}=  \frac14\sqrt{160a^2-9a^4-256}=  \frac14 \frac{64}{3}=\frac{16}{3} $ bulunur.

Comments

Elinize sağlık Doğan hocam, tüm çözümler çok güzel oldu.

Answer 4

Heron formülü ile de kolay çözülebiliyor.

$s=\frac12(4+a+2a)=2+\frac32a$ olup, Alan$=\sqrt{s(s-a)(s-2a)(s-4)}$ den.

$\textrm{Alan}=\sqrt{(2+\frac32a)(2+\frac12a)(2-\frac12a)(\frac32a-2)}=\sqrt{a^2(20-\frac98a^2)-32}$

$a^2(20-\frac98a^2)-32$ yi maksimum yapmak yeterlidir.

Türevi$=a(20-\frac94a^2)$ olup diğer (Analiz ile) çözümdeki gibi

Maksimum Alan=$\frac{16}3$ bulunur.

Answer 5

Bahsettiğim ortalama eşitsizliği ile yapılan çözümü de paylaşayım:

 

Bu yöntemde de Heron formülü'nü kullanacağız. Yarıçevre $s$'i kolay hesaplamak için üçgenin kenar uzunluklarına $2a, 4a, 4$ diyelim. $s = 3a+2$ olur. $Alan(ABC)=S$ olmak üzere $S^2 = (3a+2)(3a-2)(2+a)(2-a)=(9a^2 - 4)(4-a^2)$ olur. Bu bağıntıyı

$$  S^2 = 9\cdot \left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right)$$

biçiminde yazarsak aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini uygulamak kolaylaşır:

$\left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right) \leq \left[\dfrac{a^2 - \dfrac{4}{9} + 4-a^2}{2} \right]^2 = \left( \dfrac{16}{9}\right)^2$ olduğundan

$S^2 \leq 9\cdot \left( \dfrac{16}{9}\right)^2 \implies S \leq \dfrac{16}{3}$ elde edilir.

 

$S_\max = \dfrac{16}{3}$ olmasını sağlayan kenar uzunluklarını da belirleyelim. Ortalama eşitsizliğinde eşitlik analizi yapmalıyız, yani $a^2 - \dfrac{4}{9} = 4-a^2 $ olmalıdır. Buradan $a= \dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ olup üçgenin kenarları $\dfrac{4\sqrt{5}}{3}, \dfrac{8\sqrt{5}}{3}, 4$ olur.

Answer 6

Çok farklı bir yol değil ama gösterelim: Parabol bilgisiyle de şöyle çözebiliriz. Yine kenar uzunluklarına $2a, 4a, 4$ dedikten sonra Heron formülü ile

$$  S^2 = 9\cdot \left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right) $$

alan bağıntısını yazalım. $a^2 = t$ denirse ($t>0$),

$$  S^2 = f(t)  = 9\cdot \left(t - \dfrac{4}{9} \right) \left( 4-t \right) $$

parabol fonksiyonunu elde ederiz. Kolları aşağı yönlü olan bu parabol, tepe noktasında en büyük değerini alacaktır. Bu değer ise, köklerin aritmetik ortası olan $t = \dfrac{\dfrac{4}{9} + 4}{2} = \dfrac{20}{9}$ için elde edilir. $S_\max = \dfrac{16}{3}$ bulunur.

Comments

Güzel çözümler ve yorumlar için teşekkür ederim.

Answer 7

Bu sorunun neredeyse aynısı, Tübitak Lise 1. Aşama/2003 sınavında soruldu.

Daha genel halini şöyle ifade edebiliriz:

Soru: $\triangle ABC$'de $BC=a$ ve $AC/AB=b/c$ oranı sabitten, $[ABC]$ en çok kaç olabilir?

 

$AN_1$ iç açıortay $AN_2$ dış açıortay olsun. $N_1N_2$ nin orta noktası da $M$ olsun.
$b<c$ kabul edelim. 

$CN_1 = \dfrac{ab}{b+c}$

$CN_2 = \dfrac{ab}{c-b}$

Maksimum yükseklik için $AM = CN_1 = CN_2 = \dfrac{N_1N_2}{2} = \dfrac{abc}{c^2-b^2}$.

Biraz daha düzenlemeyle $h_{\max} = a \cdot \dfrac{1}{\left | \frac cb - \frac bc \right |}$.

$[ABC]_{\max} = \dfrac {a^2}2 \cdot \dfrac{1}{\left | \frac cb - \frac bc \right |}$ $\blacksquare$

Bir not düşelim: $b=c$ iken üst limit yoktur.

 

 

Kaynak: https://geomania.org/forum/index.php?topic=3748.msg12555#msg12555