Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
718 kez görüntülendi
$\angle PBA$, $P, B, C$ noktalarının oluşturduğu açıyı; $|AP|$ ise $AP$ doğru parçasının uzunluğunu temsil etmektedir.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 718 kez görüntülendi

Kaynak: 2006 IMO, Problem 1.

4 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Verilen ozelligi saglayan herhangi bir $P$ noktasi icin

$$\angle ABC + \angle ACB = \angle PBA + \angle PBC + \angle PCA + \angle PCB $$ $$\implies \angle PCB + \angle PBA = \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2}$$

esitligi saglanir. $PBC$ ucgeninde icacilarin toplami $\pi$ olacagindan, 

$$ \angle BPC = \pi - \angle PCB - \angle PBC = \frac{2\pi - \angle ABC - \angle ACB}{2} = \frac{\pi + \angle BAC}{2}$$

esitligini elde ederiz. Dolayisiyla soruda verilen ozelligi saglayan $P$ noktalari, $BC$ kenarini hep $\frac{\pi+\angle BAC}{2}$ acisi altinda goren noktalardir, ve bu noktalar $BC$ dogru parcasini kiris kabul eden bir yaydir. Yayin cemberinin merkezi $O$, $BC$nin ortadikmesi uzerinde ve $\angle CBO = \frac{\angle CAB}{2}$ olacak sekilde $BC$'nin $A$nin olmayan tarafindadir. 

$AO$ dogrusunun $I$dan gectiginin ispati yukaridaki sekildeki gibi: $AOB$ ve $AOB'$ ucgenleri denktir cunku kurulum geregi

$\angle ABB' = \frac{\angle BAC + \pi}{2} - \angle BAC = \frac{\pi - \angle BAC}{2} = \pi - \frac{\pi + \angle BAC}{2} = \angle AB'B$   

Dolayisiyla turkuaz cember uzerindeki her nokta istegimiz ozelligi saglar. Ustune ustluk $AO$ $I$ noktasindan gectigi icin, $A$ merkezli $AI$ yaricapli cember, tukuaz cembere tegettir ve $|AP| \geq |AI|$ esitsizligi esitlik sadece ve sadece $P=I$ oldugu durumda saglanir.

(74 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk çözümümdeki mantık genel çözüme kolaylıkla uyarlanabiliyor.

(940 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözüm yollarından birisi:

(940 puan) tarafından 
$AD$ aciortayi neden $BC$'ye dik? Genel bir ucgen icin bu yanlis, cozum ikizkenar ucgen icin dogru gibi duruyor.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hocam ben açıların çapraz olarak toplamlarının eş olduğunu anlamışım.

Ondan dolayı üçgeni ikizkenar bulmuşum.

Uyarınız için teşekkür ederim. Genel çözüme ulaşmaya çalışayım...

(940 puan) tarafından 
19,345 soru
21,132 cevap
70,605 yorum
24,382 kullanıcı