Verilen ozelligi saglayan herhangi bir $P$ noktasi icin
$$\angle ABC + \angle ACB = \angle PBA + \angle PBC + \angle PCA + \angle PCB $$ $$\implies \angle PCB + \angle PBA = \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2}$$
esitligi saglanir. $PBC$ ucgeninde icacilarin toplami $\pi$ olacagindan,
$$ \angle BPC = \pi - \angle PCB - \angle PBC = \frac{2\pi - \angle ABC - \angle ACB}{2} = \frac{\pi + \angle BAC}{2}$$
esitligini elde ederiz. Dolayisiyla soruda verilen ozelligi saglayan $P$ noktalari, $BC$ kenarini hep $\frac{\pi+\angle BAC}{2}$ acisi altinda goren noktalardir, ve bu noktalar $BC$ dogru parcasini kiris kabul eden bir yaydir. Yayin cemberinin merkezi $O$, $BC$nin ortadikmesi uzerinde ve $\angle CBO = \frac{\angle CAB}{2}$ olacak sekilde $BC$'nin $A$nin olmayan tarafindadir.
$AO$ dogrusunun $I$dan gectiginin ispati yukaridaki sekildeki gibi: $AOB$ ve $AOB'$ ucgenleri denktir cunku kurulum geregi
$\angle ABB' = \frac{\angle BAC + \pi}{2} - \angle BAC = \frac{\pi - \angle BAC}{2} = \pi - \frac{\pi + \angle BAC}{2} = \angle AB'B$
Dolayisiyla turkuaz cember uzerindeki her nokta istegimiz ozelligi saglar. Ustune ustluk $AO$ $I$ noktasindan gectigi icin, $A$ merkezli $AI$ yaricapli cember, tukuaz cembere tegettir ve $|AP| \geq |AI|$ esitsizligi esitlik sadece ve sadece $P=I$ oldugu durumda saglanir.