Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
714 kez görüntülendi

$z_1,z_2,z_3\in C$ olmak üzere $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ ve $\frac{z_1^2}{z_2z_3}+\frac{z_2^2}{z_1z_3}+\frac{z_3^2}{z_1z_2}=-1$ olduğuna göre $|z_1+z_2+z_3|$ ifadesinin alabileceği değerleri bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 714 kez görüntülendi

-1 e eşit olan 3 terımden ortancasında yazım hatası var.

Sağol düzetiyorum.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\frac{z_1^2}{z_2z_3}+\frac{z_2^2}{z_1z_3}+\frac{z_3^2}{z_1z_2}=\frac{z_1^3+z_2^3+z_3^3}{z_1z_2z_3}=-1$ eşitliğini yazıp bir kenara koyalım ve devam edelim. 

$\frac{(z_1+z_2+z_3)^3}{z_1z_2z_3}=\frac{z_1^3+z_2^3+z_3^3+3(z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1z_2^2+z_2^2z_3+z_1z_3^2+z_2z_3^2)+6(z_1z_2z_3)}{z_1z_2z_3}\\=5+3\left(\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_1}{z_3}+\frac{z_2}{z_1}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}+\frac{z_3}{z_2}\right)$ olarak düzenleyelim. Eğer 

$z_1=cis\alpha\\z_2=cis\beta\\z_3=cis\theta$ 

dersek yukarıdaki eşitliği

$5+cos(\alpha-\beta)+i.sin(\alpha-\beta)+cos(\alpha-\theta)+i.sin(\alpha-\theta)+cos(\beta-\theta)+i.sin(\beta-\theta)\\+cos(-\alpha+\beta)+i.sin(-\alpha+\beta)+cos(-\alpha+\theta)+i.sin(-\alpha+\theta)+cos(-\beta+\theta)+i.sin(-\beta+\theta)\\=5+6(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha-\theta)+cos(\beta-\theta))$ olara yazabiliriz.

Bu durumda linkteki soruya bağlı olarak (talep olursa çözümünü yazarım) 

$-4\leq5+6(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha-\theta)+cos(\beta-\theta))=\frac{(z_1+z_2+z_3)^3}{z_1z_2z_3}\leq23$ olur. 

$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ olduğundan $|z_1z_2z_3|=1$ olmalıdır. Yani $\left|\frac{(z_1+z_2+z_3)^3}{z_1z_2z_3}\right|=|(z_1+z_2+z_3)^3|$ diyebiliriz. Yukarıki eşitsizlikten $0\leq|(z_1+z_2+z_3)|\leq\sqrt[3]{23} $ kapalı aralığını buluruz.

(2.9k puan) tarafından 

$4\leq 5+6(cos(\alpha-\theta)+cos(\alpha-\beta)+cos(\theta-\beta))\leq 23$     eşitsizliğinin sol tarafını nasıl buldunuz? Ayrıca sağ tarafın $23$ olması, $\alpha=\theta=\beta$ olması ile mümkündür. Bu durumda da $z_1=z_2=z_3$ olup, $|z_1+z_2+z_3|=|3z_1|=3|z_1|=3>\sqrt[3]{23}$ olmaz mı?

Hocam iki değişkenli fonksiyonun ekstremumlarını buldum birinde hepsi aynı, öbürüde arada 120'şer derece var. Ama haklısınız bir yerde işlem hatam var.

20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,078,573 kullanıcı