$|z_1+z_2+z_3|$ ifadesinin alabileceği değerleri bulunuz.

Question

$z_1,z_2,z_3\in C$ olmak üzere $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ ve $\frac{z_1^2}{z_2z_3}+\frac{z_2^2}{z_1z_3}+\frac{z_3^2}{z_1z_2}=-1$ olduğuna göre $|z_1+z_2+z_3|$ ifadesinin alabileceği değerleri bulunuz.

Comments

-1 e eşit olan 3 terımden ortancasında yazım hatası var.

---

Sağol düzetiyorum.

Answer 1

$\frac{z_1^2}{z_2z_3}+\frac{z_2^2}{z_1z_3}+\frac{z_3^2}{z_1z_2}=\frac{z_1^3+z_2^3+z_3^3}{z_1z_2z_3}=-1$ eşitliğini yazıp bir kenara koyalım ve devam edelim. 

$\frac{(z_1+z_2+z_3)^3}{z_1z_2z_3}=\frac{z_1^3+z_2^3+z_3^3+3(z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1z_2^2+z_2^2z_3+z_1z_3^2+z_2z_3^2)+6(z_1z_2z_3)}{z_1z_2z_3}\\=5+3\left(\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_1}{z_3}+\frac{z_2}{z_1}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}+\frac{z_3}{z_2}\right)$ olarak düzenleyelim. Eğer 

$z_1=cis\alpha\\z_2=cis\beta\\z_3=cis\theta$ 

dersek yukarıdaki eşitliği

$5+cos(\alpha-\beta)+i.sin(\alpha-\beta)+cos(\alpha-\theta)+i.sin(\alpha-\theta)+cos(\beta-\theta)+i.sin(\beta-\theta)\\+cos(-\alpha+\beta)+i.sin(-\alpha+\beta)+cos(-\alpha+\theta)+i.sin(-\alpha+\theta)+cos(-\beta+\theta)+i.sin(-\beta+\theta)\\=5+6(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha-\theta)+cos(\beta-\theta))$ olara yazabiliriz.

Bu durumda linkteki soruya bağlı olarak (talep olursa çözümünü yazarım) 

$-4\leq5+6(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha-\theta)+cos(\beta-\theta))=\frac{(z_1+z_2+z_3)^3}{z_1z_2z_3}\leq23$ olur. 

$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ olduğundan $|z_1z_2z_3|=1$ olmalıdır. Yani $\left|\frac{(z_1+z_2+z_3)^3}{z_1z_2z_3}\right|=|(z_1+z_2+z_3)^3|$ diyebiliriz. Yukarıki eşitsizlikten $0\leq|(z_1+z_2+z_3)|\leq\sqrt[3]{23}$ kapalı aralığını buluruz.

Comments

$4\leq 5+6(cos(\alpha-\theta)+cos(\alpha-\beta)+cos(\theta-\beta))\leq 23$     eşitsizliğinin sol tarafını nasıl buldunuz? Ayrıca sağ tarafın $23$ olması, $\alpha=\theta=\beta$ olması ile mümkündür. Bu durumda da $z_1=z_2=z_3$ olup, $|z_1+z_2+z_3|=|3z_1|=3|z_1|=3>\sqrt[3]{23}$ olmaz mı?

---

Hocam iki değişkenli fonksiyonun ekstremumlarını buldum birinde hepsi aynı, öbürüde arada 120'şer derece var. Ama haklısınız bir yerde işlem hatam var.