$\{z_n\}$ icin $\lim z_n=A$ ise $\lim \frac{z_1+z_2+\cdots+z_n}{n}=A$

Question

$\{z_n\}$ pozitif terimli bir dizi olsun ve $\lim z_n=A$ olsun. O zaman $\lim \frac{z_1+z_2+\cdots+z_n}{n}=A$ oldugunu gosteriniz.

Comments

Soruyu yeniden düzenlemek gerek : $\lim \frac{z_1+...+z_n}{n} = A$ olmalı.

---

Tesekkur ederim hocam duzeltme icin.

Answer 1

Aslında bu soru hemen her analiz kitabında bulunabilir ve çözümü de oldukça kolaydır. 

Fakat bu sitede daha önce değinildiği gibi bu soruya da L'Hospital kuralının dizilerdeki 

karşılığı ile cevaplayabiliriz. Eğer bir dizi problemi kısmi toplama benzer bir ifade içeriyorsa bu kural çoğu kez başarılı sonuçlar verir. 

Bu kuralı hatırlatmak amacıyla tekrar edelim.

Teorem. $\left( a_{n}\right)$ ve $\left( b_{n}\right)$ iki dizi , 

$\left( b_{n}\right)$ kesin artan ve $\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\infty$ olsun. Eğer $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L$ ise $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$ dir.

Bu teoremde $L=\pm \infty$ da olabilir. Kanıt için Ali Nesin, Analiz I, örnek 7.38' e bakınız. 

Link:https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz\_1.pdf

şimdi bu kuralı uygulayalalım. $a_{n}=z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}$ ve $b_{n}=n$ alalım.  $\left( b_{n}\right)$ kesin artan ve $\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\infty$ dir. Ayrıca $b_{n+1}-b_{n}=1$ ve 

$a_{n+1}-a_{n}=z_{n+1}\rightarrow A$ dır.

O halde $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=A$

olduğundan $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=A$ olur. 

Daha genel olarak aşağıdaki ömermeyi ayni yöntemi kullanarak kanıtlayabiliriz. Terimleri pozitif olan $(p_n)$ dizisi için $\sum _{n=1} ^{\infty} p_n= \infty$ olsun. Bu durumda $\lim z_n = A$ ise $\lim \frac {\sum _{i=1} ^{n} p_n z_n}{\sum _{i=1} ^{n} p_n}=A$ dır.