Aslında bu soru hemen her analiz kitabında bulunabilir ve çözümü de oldukça kolaydır.
Fakat bu sitede daha önce değinildiği gibi bu soruya da L'Hospital kuralının dizilerdeki
karşılığı ile cevaplayabiliriz. Eğer bir dizi problemi kısmi toplama benzer bir ifade içeriyorsa bu kural çoğu kez başarılı sonuçlar verir.
Bu kuralı hatırlatmak amacıyla tekrar edelim.
Teorem. \left( a_{n}\right) ve \left( b_{n}\right) iki dizi ,
\left( b_{n}\right) kesin artan ve \lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\infty olsun. Eğer \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L ise \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L dir.
Bu teoremde L=\pm \infty da olabilir. Kanıt için Ali Nesin, Analiz I, örnek 7.38' e bakınız.
Link:https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz\_1.pdf
şimdi bu kuralı uygulayalalım. a_{n}=z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n} ve b_{n}=n alalım. \left( b_{n}\right) kesin artan ve \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\infty dir. Ayrıca b_{n+1}-b_{n}=1 ve
a_{n+1}-a_{n}=z_{n+1}\rightarrow A dır.
O halde \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=A
olduğundan \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=A olur.
Daha genel olarak aşağıdaki ömermeyi ayni yöntemi kullanarak kanıtlayabiliriz. Terimleri pozitif olan (p_n) dizisi için \sum _{n=1} ^{\infty} p_n= \infty olsun. Bu durumda \lim z_n = A ise \lim \frac {\sum _{i=1} ^{n} p_n z_n}{\sum _{i=1} ^{n} p_n}=A dır.