Suradaki linkteki soruya baska nasil bir cevap verebiliriz? diye dusunuyorduk. $\mathbb{C}$ cismi $\mathbb{R}$'nin cebirsel kapanisi ve bu derecesi $2$ olan bir genisleme. Elimizde bir reel sayi varsa, bunun minimal polinomunun derecesi $1$, reel olmayan bir karmasik sayi varsa bunun minimal polinomunun derecesi de $2$ olmali. Eger elimizde katsayilari reel sayilar olan bir polinom varsa, bunu carpanlara ayirdigimizda derecesi $1$ veya $2$ olan polinomlar elde etmeliyiz. Eger butun kokler karmasik ise, bu carpanlarin hepsinin derecesi $2$ olmali. Bu da polinomun derecesinin cift olmasini gerektirir. Demek ki, eger polinomun derecesi tek ise, butun kokler karmasik olamaz. En azindan bir tanesi reel olmali.
Bunu, suna genellestirebilir miyiz:
$F$ bir cisim olsun. $\overline{F}$'nin ($F$'nin cebirsel kapanisinin), $F$'nin derecesi $p$ (asal) olan bir genislemesi oldugunu kabul edelim. Eger $f$, derecesi $1 \mod p$ olan bir polinom ise koklerinden en az bir tanesi $F$'de olmalidir.
Yukaridaki argumanin aynen calismasi lazim. Minimal polinomlarin derecelerinin $1$ ya da $p$ olmasi lazim. Eger $1 < q < p$ olsaydi bir $\alpha$ elemanin minimal polinomunun derecesi, o zaman $F[\alpha]$ derecesi $q$ olan ve $\overline{F}$'nin altinda kalan bir genisleme olacakti. Ama $q \not | p$, Galois teori (ya da cisim teorisi) buna izin vermez.
1. Bu soyledigim dogru mu?
2. Ayni sey aslinda $p$'nin kati olmayan her derece icin gecerlidir? Neden olmasin?
3. Cebirsel kapanisinin genisleme derecesi 3 olan bir cisim ornegi verebilir misiniz?