Bağlantılı Küme-I

Question

$(X,\tau)$ herhangi bir topolojik uzay olmak üzere

$$``\ x \in X\Rightarrow \{x\}, \tau\text{-bağlantılı} "$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Uzayi $\{x\}$ kumesine kisitlayalim. Bu durumda acik ve kapali (clopen) kumeler $\emptyset$ ve $\{x\}$ olur. Bu da bu kisitli uzayin baglantili oldugunu verir. 

Comments

Cevap gayet açık ve net. Peki bu soruyu bağlantısız küme tanımı yardımıyla ispatlamak istesek nasıl yaparız? 

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A, \,\ \tau\text{-bağlantısız}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\exists U,V\in\tau)(A\cap U\neq \emptyset)(A\cap V\neq \emptyset)(A\cap (U\cap V)=\emptyset)(A\cap (U\cup V)=A)$$

---

Bu açık diye biraz dolandırmıştım ben. Tanımdan (baglantısız olma)İlk olarak  $\{x\}$ ile kesişimi boş olmayan ve kesişiminde $\{x\}$ kümesinden hiç eleman içermeyen iki açık küme bulmalıyız. Fakat bu imkanlı değil, kesişimin boş olmaması demek $x$ elemanını içermek demek. Bu nedenle böyle iki açık küme yok. Yani $\{x\}$ baglantısız değil.

---

Bir cevap da ben ekleyeyim.

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A, \,\ \tau\text{-bağlantısız}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\exists U,V\in\tau)(A\cap U\neq \emptyset)(A\cap V\neq \emptyset)(A\cap (U\cap V)=\emptyset)(A\cap (U\cup V)=A)$$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$A, \,\ \tau\text{-bağlantılı}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$A, \,\ \tau\text{-bağlantısız değil}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall U,V\in\tau)\left[(A\cap U=\emptyset) \vee (A\cap V=\emptyset) \vee (A\cap (U\cap V)\neq\emptyset) \vee (A\cap (U\cup V)\neq A)\right]$$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Durum: $x\in U\in\tau$ ve $x\in V\in\tau$ olsun.

$\left[(\underset{0}{\underbrace{\{x\}\cap U=\{x\}}}) \vee (\underset{0}{\underbrace{\{x\}\cap V=\{x\}}}) \vee (\underset{1}{\underbrace{\{x\}\cap (U\cap V)=\{x\}}}) \vee (\underset{0}{\underbrace{\{x\}\cap (U\cup V)=\{x\}}})\right]\equiv 1$

II. Durum: $x\in U\in\tau$ ve $x\notin V\in\tau$ olsun.

$\left[(\underset{0}{\underbrace{\{x\}\cap U=\{x\}}}) \vee (\underset{1}{\underbrace{\{x\}\cap V=\emptyset }}) \vee (\underset{0}{\underbrace{\{x\}\cap (U\cap V)=\emptyset }}) \vee (\underset{0}{\underbrace{\{x\}\cap (U\cup V)=\{x\}}})\right]\equiv 1$

III. Durum: $x\notin U\in\tau$ ve $x\notin V\in\tau$ olsun.

$\left[(\underset{1}{\underbrace{\{x\}\cap U=\emptyset}}) \vee (\underset{1}{\underbrace{\{x\}\cap V=\emptyset}}) \vee (\underset{0}{\underbrace{\{x\}\cap (U\cap V)=\emptyset}}) \vee (\underset{1}{\underbrace{\{x\}\cap (U\cup V)=\emptyset}})\right]\equiv 1$