Düzgün Süreklilik-III

Question

$f(x)=\sin x$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu düzgün sürekli midir?

Answer 1

$\sin(x)$ fonksiyonu $[x,y]$ araliginda surekli ve $(x,y)$ araliginda turevlenebilir oldugundan, Ortalama Deger Teoremi ile gosterilebilir ki, $c\in[x,y]$ vardir oyle ki,

$\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}=f'(c)$

Her iki tarafin mutlak degerini alirsak,

$\frac{|\sin{x}-\sin{y}|}{|x-y|}=|f'(c)|$ ve burdan

$|\sin{x}-\sin{y}|=|f'(c)||x-y|$ elde ederiz. $f'(c)=\cos(c)$ ve $|f'(c)|=|\cos(c)|\leq1$ olur.

Sonuc olarak $|\sin{x}-\sin{y}|\leq|x-y|$oldugunu gostermis olduk.. Gerisi duzgun surekliligin tanimi..

Comments

$$c\overset{?}\in [x,y]$$

---

 

...............................

---

Yoksa

$$c\overset {?}\in (x,y)$$

---

Daha buyuk almakta sorun olmasa gerek.

---

Sercan'in da dedigi gibi 

$c\in(x,y)\subseteq[x,y]\Rightarrow c\in[x,y]$

Zaten fonksiyonun acik aralikta turevlenme sarti sizin kuskunuzu ortadan kaldirir..

---

$f(x)=x$ olsun. Aciktir ki bu fonksiyon $[1,2]$ araliginda surekli ve $(1,2)$ araliginda turevlenebilir. O zaman Ortalama Deger Teoremi geregince $c\in[1,2]$ vardir (Dogrusu en az bir tane boyle bir $c\in[1,2]$ vardir). Bulalim $c$ degerini.

$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=f'(c)$

$\frac{2-1}{2-1}=f'(c)\Rightarrow 1=1 \Rightarrow c\in\{x|x\in[1,2]\}$

---

En sondaki $c$ kumeye esit degil elemani. Fakat yine de teoremlerdeki minimumlugu bozmamak gerekir.

Answer 2

$$\begin{array}{rcl} |\sin x-\sin y| & = & \left|2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\right| \\ \\ & = & 2\cdot\left|\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\right|\cdot\left|\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\right| \\ \\ & \leq & 2\cdot\left|\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\right| \\ \\ &  \leq & 2\cdot\left|\frac{x-y}{2}\right| \\ \\ & = & |x-y|\end{array}$$

olduğundan her $\epsilon >0$  için  $0<\delta \leq \epsilon$  seçilirse her  $x,y\in \mathbb{R}$  için $$|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \ldots \leq |x-y|<\delta\leq\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de düzgün süreklidir.