Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
900 kez görüntülendi

olduğunu gösteriniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (621 puan) tarafından  | 900 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

\lim_{n\to\infty}(n^2+n)^\frac{1}{2n+1}=y

Her iki tarafında Ln'nini alırsak.

\lim_{n\to\infty} \frac{ln(n^2+n)}{2n+1}=lny gelir.

Burada n yerine sonsuz yazarsak.\frac{\infty}{\infty} belirsizliği gelir.

Bir kere L'Hopital uygulanırsa.

\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2n+1}{n^2+n}}{2}=lny gelir.

\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n^2+2n}=lny ifadesin n yerine sonsuz yazarsak.Paydanın derecesi paydan büyük olduğu için sonuç sıfır gelir.

0=lny ise y=1'dir.

(11.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Dizilerde L'h uygulanmaz. Gercel fonksiyona cevirip islem yapilabilir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1. n^{1/n} azalandır.

İspat:

\forall n

n>\left(1+1/n\right)^n olduğunu ispatlamalıyız bu da \left(\left(1+1/n\right)^n\right)_n dizisinin azalan olmasından çıkar.

2. n^{1/n} alttan sınırlıdır.

İspat: 0 bir alt sınırdır.

3. n^{1/n} dizisi yakınsaktır.

İspat: Sınırlı ve monoton diziler yakınsaktır. 

4. n^{1/n}=1 dir.

İspat:

Yakınsak dizilerin altdizileri de aynı limite yakınsar, dolayısıyla a>1 bir tamsayı olmak üzre;

\lim a^{1/n}=1 olmalıdır, Çünkü \lim a^{2n}=x^2=\lim a^n=xx=1,0 gelir x=1 olur.

Çünkü a^{n+1}>a^n>1

Aynı mantıkla,

n^{1/n}'in 1'den büyük eşit limiti olmalı çünkü, azalan olduğundan n>\left(1+1/n \right)^n bu eşitsizliği sağlar.

\lim (2n)^{1/2n}=\lim \underbrace{\sqrt 2^{1/n}}_1 \underbrace{(n^{1/n})^{1/2}}_{x^{1/2}}=\sqrt x=\lim n^{1/n}=x

Buradan da \lim n^{1/n}=x=1 gelir.

Dolayısıyla Sandviç teoremi gereği, limitin 1 olduğu görülür.

\boxed{1=\left(\lim (2n+1)^{\frac1{2n+1}}\right)^3>\lim (n^2+n)^{\frac1{2n+1}}>\lim (2n+1)^{\frac1{2n+1}}=1}

(7.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Son islemler 1>1 diyor?

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,071,449 kullanıcı