Birkac olasilik uzayi ornegi ve ilgili birkac soru

Question

Oncelikle ilgili olan su soruya bakiniz.

$h$ ile $k$ birer pozitif tamsayi olsunlar. Simdi su iki kumeyi tanimlayalim.

1. $X_1=\{s,b\}$;
2. $X_2=\{ss,sb,bs,bb\}$;

Bu iki kume uzerinde de su uc fonksiyonu tanimlayalim.

1. Ilk fonksiyon $\nu_1:X_1\longrightarrow [0,1]$ arasinda $$\nu_1(s)=\frac{h}{h+k}\;\text{ve} \;\nu_1(b)=\frac{k}{h+k}$$ kuraliyla verilsin.
2. Ikinci fonksiyon $\nu_2:X_2\longrightarrow [0,1]$ arasinda $$\nu_2(ss)=\frac{h^2}{(h+k)^2}\\ \nu_2(sb)=\nu_2(bs)=\frac{hk}{(h+k)^2}\\  \nu_2(ss)=\frac{k^2}{(h+k)^2}.$$ kuraliyla verilsin.
3. Son olarak ucuncu fonksiyon $\nu_3:X_2\longrightarrow [0,1]$ arasinda $$\nu_3(ss)=\frac{h(h-1)}{(h+k)(h+k-1)}\\ \nu_3(sb)=\nu_3(bs)=\frac{hk}{(h+k)(h+k-1)}\\  \nu_3(ss)=\frac{k(k-1)}{(h+k)(h+k-1)}.$$ kuraliyla verilsin.

Soru bir. Yukarida tanimlanmis fonksiyonlarin olasilik uzayi tanimladiklarini gosterin.

$X_2$ icinde $A=\{sb,ss\}$ ve $B=\{bs,ss\}$ olaylarini ele alalim. 

Soru iki. $A$ ve $B$ olaylarinin $\nu_2$'ye gore birbirinden bagimsiz $\nu_3$'e gore ise bagimsiz olmadiklarini gosteriniz.

Soru uc. $X=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ olsun ve $\nu:X\longrightarrow [0,1]$ fonksiyonunu soyle tanimlayalim:

$\nu(2)=\frac{1}{36},\nu(3)=\frac{2}{36},\nu(4)=\frac{3}{36},\nu(5)=\frac{4}{36},\nu(6)=\frac{5}{36},$

$\nu(7)=\frac{6}{36},\nu(8)=\frac{5}{36},\nu(9)=\frac{4}{36},\nu(10)=\frac{3}{36},\nu(11)=\frac{2}{36},\nu(12)=\frac{1}{36}$

$\nu$ fonksiyonunun $X$ kumesini uzerinde bir olasilik olcumu tanimladigini gosterin.

Soru dort. Atilan iki zarin toplamlarinin olaylarinin olasiliginin soru ucte verilen olasilik olcumuyle belirlenebilecegini kendinizi ikna edin (Bunu ispatlayamazsiniz. Neden?- Bu neden kismi bu sorunun en zor kismi) (http://matkafasi.com/19570/rastgele-degisken)

Soru bes. Bir onceki soruda orneklendigi gibi, $\nu_1,\nu_2,\nu_3$ olasilik olcum uzaylarinin modellik edecekleri deneyler bulun. 

Soru alti. Su soruda tanimlanmis olan $\delta_x\in L(X)$ fonksiyonunun $X$ uzerinde bir olasilik olcumu tanimladigini gosterin. Bu olasilik olcumuna Dirac olcumu denir.

Answer 1

1) Burda goruntu toplamlarinin $1$ oldugunu gostermemiz gerek: $$\nu_1(s)+\nu_1(b)=\frac{h}{h+k}+\frac{k}{h+k}=1,$$ $$\nu_2(ss)+\nu_2(sb)+\nu_2(bs)+\nu_2(bb)=\frac{h^2}{(h+k)^2}+2\frac{hk}{(h+k)^2}+\frac{k^2}{(h+k)^2}=1,$$ $$\nu_3(ss)+\nu_3(sb)+\nu_3(bs)+\nu_3(bb)=\frac{h(h-1)}{(h+k)(h+k-1)}+2\frac{hk}{(h+k)(h+k-1)}+\frac{k(k-1)}{(h+k)(h+k-1)}=1.$$

2) Incelememiz gereken $i=2,3$ durumlari icib $\nu_i(A\cap B) =\nu_i(A)\nu_i(B)$ olup olmadigi: $$\nu_2(A\cap B)=\nu_2(ss)=\frac{h^2}{(h+k)^2},$$ $$\nu_3(A\cap B)=\nu_3(ss)=\frac{h(h-1)}{(h+k)(h+k-1)}$$ ve $$\nu_2(A)\nu_2(B)=\bigg(\frac{h^2}{(h+k)^2}+\frac{hk}{(h+k)^2}\bigg)^2=\frac{h^2}{(h+k)^2},$$ $$\nu_3(A)\nu_3(B)=\bigg(\frac{h(h-1)}{(h+k)(h+k-1)}+\frac{hk}{(h+k)(h+k-1)}\bigg)^2=\frac{h^2}{(h+k-1)^2}.$$

3) 1. cevaptaki gibi verilen degerlerin hepsini toplayinca $1$ yapiyor.

4) ikna oldum. Fakat neden ispatlayamiyoruz? Cunku gercek hayattaki bir olayin olasiligi sudur diye tabir edilen sey bir tanimla mumkun, bir ispatla degil.

5) $h=k=1$ icin $\nu_1$ (hilesiz) para atma ve $\nu_2$ iki kere bu parayi atma. $\nu_3$ de iki berberin kendilerini tras etme ve digerini tras etme olasiligi. Bir adet paradoks vardi, onunla iliskili. Eger sehirde iki berber olsa sadece birinin tras ettigi kisi %$100$ digeri.

Ya $1$ degillerse? Birincisi $h$ tane siyah $k$ tane beyaz bilyenin oldugu bir torbadan rastgele secilen bilye deneyinin modeli olabilir. Ikincisi, ayni torbalardan iki tane bilyenin secildigi ama ikinci bilye alinmadan birincinin yerine kondugu deneyi. Ucuncude ise, ikideki deney ama ilk alinan bilye yerine konmuyor.

6) $\sum\limits_{y\in X}\delta_x(y)=\delta_x(x)=1$.

Comments

4) Cunku gercek hayattaki bir olayin olasiligi sudur diye tabir edilen sey bir tanimla mumkun, bir ispatla degil. 

5) Ya $1$ degillerse? Birincisi $h$ tane siyah $k$ tane beyaz bilyenin oldugu bir torbadan rastgele secilen bilye deneyinin modeli olabilir. Ikincisi, ayni torbalardan iki tane bilyenin secildigi ama ikinci bilye alinmadan birincinin yerine kondugu deneyi. Ucuncude ise, ikideki deney ama ilk alinan bilye yerine konmuyor.

---

Cok iyi kopyala yapistir yaptim su an.

---

Harika olmus :)