Rastgele degisken

1 beğenilme 0 beğenilmeme
70 kez görüntülendi

$(Y,\nu)$ bir olasilik olcum uzayi ve $X$ de herhangi bir kume olsun. $Y$'den $X$'e giden herhangi bir fonksiyona rassal degisken (random variable) denir. Rassal bir $f:Y\longrightarrow X$ verildiginde $x\in X$ icin $\nu_f(x)$ degeri $$\nu\{f=x\}=\nu_f(x):=\nu\big(\{y\in Y:f(y)=x\}\big)=\nu(f^{-1}(x))$$olarak tanimlanir.


Birinci soru. $\nu_f$ fonksiyonunun $X$ uzerinde bir olasilik olcumu tanimladigini ispatlayin.

Ikinci soru. $Y=\{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\}$ kumesi uzerinde her elemana $\frac{1}{36}$ degerini veren olasilik olcumunu $\nu$ ile gosterelim.  $X$ kumesi de $\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ olsun. Simdi su rassal degiskene bakalim: $$f:Y\longrightarrow X \\ (a,b)\longmapsto a+b$$ Bu rassal degiskene bagli olarak tanimlanan $\nu_f$ olasilik olcumunun suradaki ucuncu soruda tanimlanmis olan olasilik olcum uzayi oldugunu gosterin.

22, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu
22, Ağustos, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1) $\nu_f:\:X\rightarrow [0,1]$ fonksiyonunun goruntu toplaminin $1$ oldugunu gostermeliyiz: $$\sum\limits_{x\in X}\nu_f(x)=\sum\limits_{x\in X} \nu(f^{-1}(x))=\sum\limits_{y\in Y} \nu(y)=1.$$

2) Olasiliklarin esit oldugu verilmis, Verilen bir $x \in X$ degerine $f$ fonksiyonunun kac adet $Y$ kumesinden eleman goturdugunu bulmamiz yeterli: (usenmemek gerekirse)
$2=1+1$,
$3=2+1=1+2$,
$4=3+1=2+2=3+3$,
$5=4+1=3+2=2+3=1+4$,
$6=5+1=4+2=3+3=2+4=1+5$,
$7=6+1=5+2=4+3=3+4=2+5=1+6$,
$8=6+2=5+3=4+4=3+5=2+6$,
$9=6+3=5+4=4+5=3+6$,
$10=6+4=5+5=4+6$,
$11=6+5=5+6$,
$12=6+6$.

Bunu formulize etmek zor olmasa gerek.

23, Ağustos, 2015 Sercan (23,208 puan) tarafından  cevaplandı
23, Ağustos, 2015 Sercan tarafından düzenlendi
...