Rassal matris

Question

Ya da daha bilinen adiyla stokastik matris su sekilde tanimlanir.

$X$ sonlu bir kume ise Asagidaki ozellikleri saglayan $P$ matrisine $X$ uzerinde tanimli rassal (stokastik) bir matris denir:

1. $P=(p(x,y))_{x,y\in X}$, yani $P$ matrisinin satir ve sutunlari $X$'in elemanlariyla indislenmis olmali;
2. $p(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq 0}$;
3. Her $x\in X$ icin $$\sum_{y\in X}p(x,y)=1.$$ Yani her bir satirin girdilerinin toplami bir olacak.

$P$ matrisi, $X$ sonlu kumesi uzerinde tanimli bir rassal matris olsun.

Birinci soru. Her $x\in X$ icin $y\longmapsto p_x(y):=p(x,y)$ biciminde tanimlanmis olan fonksiyonun $X$ uzerinde bir olasilik olcumu tanimladigini gosterin. (Bu soru asiri kolay.)

Ikinci soru. $P$ matrisinin dogal bir bicimde $L(X)$ dogrusal uzayinin bir endomorfizmasini (yani kendinden kendine dogrusal bir fonksiyon) tanimladigini gosterin. (Bu soru da asiri kolay. Hani matrisler baz secildiginde dogrusal fonksiyon tanimlar a carpma vasitasiyla.)

Ucuncu soru. $P$ ile tanimlanan $v\longmapsto P\cdot v$ fonksiyonunun bir tane ozvektorunu bulun.

Answer 1

1)Tum $x\in X$ icin $\sum\limits_{y\in X}p_x(y)=\sum\limits_{y\in X}p(x,y)=1$.

2) $P(f(x))=[Pf](x)=\sum\limits_{y\in X}p(x,y)f(y)$ mi diyecegiz? Bu soruyu anlamadim galiba. Saat gec olmasindan oturu olabilir.

3) sifir olmayan bir ozvektor isteniyor galiba $P-I$ matrisinin tum satirlarin girdi toplami sifir olacagindan girdilerinin hepsi $1$ olan vektor ozvektor olur.

Comments

Dirac fonksiyonlarina gore olan bazda acinca sana bir sutun vektor veriyor $L(X)$'in elemanlari. Carpinca yine $L(X)$'in elemanini elde ediyorsun. O da senin dedigine denk galiba.